Κυλιόμενος κύκλος

Ένας κύκλος ακτίνας $1$ εφάπτεται εσωτερικά ενός άλλου κύκλου ακτίνας $\sqrt{2}$. Χρωματίζουμε το σημείο επαφής τους. Ο κύκλος στο εσωτερικό αρχίζει και κυλά, εφαπτόμενος συνεχώς του άλλου κύκλου. 

Κατά την κύλιση, κάθε φορά που ένα χρωματισμένο σημείο του ενός κύκλου αγγίζει ένα αχρωμάτιστο σημείο του άλλου κύκλου, χρωματίζεται και αυτό. Πόσα χρωματισμένα σημεία θα υπάρχουν στον κυλιόμενο κύκλο μετά από 1000 πλήρεις περιστροφές επί του μεγαλύτερου κύκλου;