Δευτέρα, 6 Απριλίου 2015

Γειτονικά τετράγωνα

Δύο τετράγωνα έχουν πλευρές 5 cm και 7 cm αντίστοιχα (σχήμα). 
Να βρεθεί το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας.
2015 South African Maths Olympiad 
First Round Junior Section: Grade 9
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com 
Γειτονικά τετράγωνα (απάντηση του Νίκου Φραγκάκη)

Πράσινο εμβαδόν = $\dfrac{{10 \cdot 5}}{2} = 25$.
Σταχτί εμβαδόν =$\dfrac{{10 \cdot 2}}{2} = 10$.
Συνολικό εμβαδόν = $25 + 10 = 35$.

2 σχόλια:

  1. Το γραμμοσκιασμένο είναι ορθογώνιο, γιατί έχει πλευρές τις διαγώνιες των δύο τετραγώνων. Η μία κάθετός του είναι 7 x 2^0.5 και η άλλη 5 x 2^0.5, άρα Ε = 35.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Θα δείξω ότι το γραμμοσκιασμένο τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
    Αν $D_{1}, D_{2}$ οι διαγώνιοι του μικρού και μεγάλου τετραγώνου αντίστοιχα και $D$ η πιθανή υποτείνουσα τότε:

    $D_{1}^2+D_{2}^2=2*5^2+2*7^2=148$

    και $D^2=(5+7)^2+(7-5)^2=144+4=1488$

    Άρα το τρίγωνο είναι πράγματι ορθογώνιο.

    $E=5\sqrt{2}\cdot7\sqrt{2}/2=35$

    ΑπάντησηΔιαγραφή