Τρίτη, 31 Μαρτίου 2015

Σχολικό λεωφορείο

Υπάρχουν 5 σπίτια Α, Β, Γ, Δ και Ε σε ένα δρόμο. Η απόσταση μεταξύ δύο γειτονικών σπιτιών είναι 100 m. Υπάρχουν 2 παιδιά που ζουν στο σπίτι Α, 3 παιδιά που ζουν στο σπίτι Β, 4 παιδιά που ζουν στο σπίτι C, 5 παιδιά που ζουν στο σπίτι D και 6 παιδιά ζουν στο σπίτι Ε. 
Αν το σχολικό λεωφορείο μπορεί να κάνει μόνο μία στάση σε αυτό το δρόμο, μπροστά από ποιο σπίτι θα πρέπει να σταματήσει το λεωφορείο, έτσι ώστε το άθροισμα των αποστάσεων που θα διανύσουν τα παιδιά να είναι η μικρότερη δυνατή;
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

6 σχόλια:

  1. Η λύση του Γιάννη Τσικριτζάκη:
    Τον συμφέρει το σπίτι D. Αν το λεωφορείο σταματήσει στο Α, θα πρέπει να διανυθούν 3*100 + 4*200 + 5*300 + 6*400 = 5000 μέτρα Αν σταματήσει στο Β, θα διανυθούν 2*100 + 4*100 + 5*200 + 6*300= 3400 μέτρα Αν σταματήσει στο Γ, θα πρέπει να διανυθούν 2*200 + 3*100 + 5*100 + 6*200 = 2400 μέτρα Αν σταματήσει στο Ε, έχουμε 2*400 + 3*300 + 4*200 + 5*100 = 3000 μέτρα Αν όμως σταματήσει στο Δ, θα διανυθεί το λιγότερο δυνατό, 2*300 + 3*200 + 4*100 + 6*100 = 2200 μέτρα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Υπάρχει νομίζω ένας απλός τρόπος που μας επιτρέπει στα γρήγορα να εντοπίζουμε τα βέλτιστα σημεία στάσης για οποιαδήποτε ανάλογη περίπτωση, χωρίς να υπολογίζουμε ξεχωριστά το αποτέλεσμα για κάθε σημείο-σπίτι Α, Β, C, D κ.ο.κ., πράγμα ίσως κουραστικό όταν τα σημεία αυτά γίνονται πολλά: Ξεκινώντας από ένα ακριανό σπίτι (στην περίπτωσή μας το Α ή το Ε) προσθέτουμε τα παιδιά κάθε σπιτιού που συναντάμε διαδοχικά μέχρι το άθροισμα να γίνει μεγαλύτερο ή ίσο του 1/2 του συνολικού αριθμού των παιδιών. Το σπίτι που θα συμβεί αυτό είναι το (ή ένα) βέλτιστο σημείο στάσης.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

      Διαγραφή
    2. Πολύ σωστή η παρατήρησή σου Θανάση!
      Ένα απλό επιχείρημα που εξηγεί γιατί συμβαίνει αυτό, είναι το ακόλουθο: Αν το ζητούμενο συμβαίνει στο σπίτι Κ, τότε μια μετατόπιση μιας θέσης δεξιά από το σπίτι Κ προσθέτει στο σύνολο των αποστάσεων έναν αριθμό ίσο με το άθροισμα των παιδιών μέχρι και το σπίτι Κ (επί τη σταθερή απόσταση μεταξύ δυο σπιτιών) ενώ αφαιρεί το άθροισμα των παιδιών από το Κ+1 ως το τέλος (επί τη σταθερή απόσταση μεταξύ δυο σπιτιών)(παρομοίως και για μια μετακίνηση αριστερά προς το Κ-1)

      Διαγραφή
    3. Ευχαριστώ πολύ Σωτήρη!
      Ακριβώς αυτό που γράφεις είναι η εξήγηση του γιατί λειτουργεί ο υπόψη κανόνας. Και η εξήγησή σου δεν είναι τίποτε λιγότερο από την ανάλυση της μονοτονίας της συνολικής απόστασης που διανύουν τα παιδιά από τα σπίτια τους μέχρι τη στάση, σε συνάρτηση με τη θέση της στάσης. Το σημείο όπου φτάνουμε ή ξεπερνάμε το μισό του αριθμού των παιδιών είναι εκεί που η συνολική διανυόμενη απόσταση αλλάζει μονοτονία και από φθίνουσα γίνεται αύξουσα.
      Νομίζω μάλιστα ότι ο κανόνας λειτουργεί ανεξάρτητα από το αν οι αποστάσεις μεταξύ διαδοχικών σπιτιών είναι ίσες μεταξύ τους ή όχι.

      Διαγραφή
    4. Συμφωνώ και με την τελευταία σου παρατήρηση. Θα μπορούσα να είχα γράψει στις παρενθέσεις "επί την απόσταση μεταξύ σπιτιού Κ και Κ+1".

      Διαγραφή