Δευτέρα 16 Φεβρουαρίου 2015

Τετράγωνα και κύβοι

Να βρεθούν οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης
$(x^2+100)^2=(x^3-100)^3$.
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

5 σχόλια:

  1. Εστω \x^2 +100=k^3, (1)
    Από την ισότητα προκύπτει τότε \x^3 -100=k^2 (2)

    Προσθέτοντας τις (1) και (2), προκύπτει \x^2+x^3=k^2+k^3.

    Θέτοντας x=k, η (1) γίνεται: \x^2+100=x^3, η οποία έχει τη λύση Χ=5

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Συγχαρητήρια στο Στράτο για την έξυπνη και ωραία του λύση! Ας μου επιτραπεί μόνο να παραθέσω μια σύντομη απόδειξη για τη μοναδικότητά της:
    Καταρχήν είναι προφανές ότι οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης πρέπει να είναι θετικές, αφού για κάθε πραγματικό χ το α’ μέλος της είναι πάντα θετικό, ενώ για να είναι και το β’ μέλος θετικό, θα πρέπει αναγκαστικά να είναι χ>0.
    Από την χ^2+χ^3=κ^2+κ^3, που προκύπτει από το μετασχηματισμό του Στράτου, συνεπάγεται η σχέση: (χ-κ)(χ+κ)=-(χ-κ)(χ^2+χκ+κ^2).
    Αν λοιπόν χ=κ παίρνουμε την χ^2+100=χ^3, η οποία δίνει την πραγματική λύση χ1=5 και τις συζυγείς μιγαδικές χ2=-2+4i και χ3=-2-4i, ενώ αν χ≠κ η σχέση απλοποιείται σε χ+κ=-(χ^2+χκ+κ^2) ==> χ^2+κ^2+χκ+χ+κ=0, η οποία είναι αδύνατη για οποιεσδήποτε θετικές πραγματικές τιμές χ,κ.
    Επομένως, η μόνη πραγματική λύση της εξίσωσης είναι η χ=5.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Πράγματι έξυπνη και ωραία η λύση του Στράτου και πολύ χρήσιμη η αναλυτική επεξήγηση-απόδειξη της μοναδικότητας της λύσης, από τον Θανάση.
    Και τα δικά μου συγχαρητήρια και στους δύο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή