Τρίτη, 6 Ιανουαρίου 2015

Βάτραχος vs ...μύγες

Ένας βάτραχος τρώει τρεις μύγες την ημέρα (ας το ονομάσουμε "γεύμα"). Μέχρι να συμπληρώσει το γεύμα του, η πιθανότητα να πιάσει όποια μύγα περάσει από μπροστά του είναι 50%. Μια μύγα είναι έτοιμη να κάνει το μεγάλο τόλμημα, να περάσει από μπροστά του. Ποια είναι η πιθανότητα να την γλυτώσει η μύγα, δεδομένου ότι πέντε μύγες έχουν κάνει ήδη την προσπάθεια;

3 σχόλια:

  1. Μια ιδέα: Αν έχουν περάσει ήδη 5 μύγες, η πιθανότητα να μην έχει πιάσει ακριβώς 3 (δηλαδή να της επιτεθεί) είναι:

    n <- 5; p <- 1/2; x <- 3

    1-dbinom(x,size=n,prob=p) = 0.6875

    Άρα η πιθανότητα να τη γλιτώσει θα είναι:
    1 - .6875 * .5 = 0.65625

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Μάλλον έχω κάνει λάθος πιο πάνω. Αν έχουν περάσει ήδη 5 μύγες η πιθανότητα να της επιτεθεί είναι αν έχει πιάσει το πολύ 2, δηλ:

    1-pbinom(2,5,.5) = 0,5

    Άρα η πιθανότητα να τη γλιτώσει θα είναι:
    1 - .5 * .5 = 0.75

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Κινδυνεύει στην περίπτωση που στις πέντε μύγες που έχουν περάσει, ο βάτραχος έχει πιάσει $0$ ή $1$ ή $2$ μύγες.
    Η πιθανότητα αθροιστικά για τα τρία ενδεχόμενα, από τύπο διωνυμικής κατανομής είναι :
    $P=P_{0}+P_{1}+P_{2}=0.03125+0.15625+0.3125=0.5$, άρα η πιθανότητα να πιασθεί είναι $0.5*0.5=0.25$,
    άρα η πιθανότητα να γλυτώσει είναι $1-0.25=0.75$

    Και ένας “μπακαλίστικος” τρόπος!
    Στις πέντε μύγες που έχουν προσπαθήσει, πιθανοτικά μαθηματική ελπίδα - έχουν πιαστεί $5*0.5=2.5$ μύγες άρα το ρίσκο της έκτης μύγας είναι $(3-2.5)*0.5=0.25$, άρα γλυτώνει με πιθανότητα $1-0.25=0.75$

    ΑπάντησηΔιαγραφή