Τρίτη, 6 Ιανουαρίου 2015

Δύο 7 - ψήφιοι αριθμοί

Αν οι 7 - ψήφιοι αριθμοί 
        και         
είναι πολλαπλάσια του 3, τότε ποια είναι η τιμή του $C$?
USA AMC 8 2014

4 σχόλια:

  1. Καλή χρονιά κύριε Ρωμανίδη, χρόνια πολλά και καλά, με υγεία και πάντα δημιουργικά!
    Χρόνια πολλά και καλά σε όλους τους φίλους του Eisatopon!

    Από δεδομένα ισχύει:
    $\begin{cases}3+4+A+5+2+B+1= 0mod3\\3+2+6+A+B+4+C=0 mod3\end{cases} \Rightarrow $

    $(3+4+A+5+2+B+1)$ $-(3+2+6+A+B+4+C)=-$ $C=0mod3 \Rightarrow C=0$, αφού $C\geq 0$

    και για τα $A,B$ έχουμε :
    $3+4+A+5+2+B+1=$ $(A+B)+15=$ $0mod3 \Rightarrow$ $ A+B+0mod3=0mod3 \Rightarrow$ $A+B=0mod3 \Rightarrow$ $A+B=3,6,9,12,15$ (δεν λαβαίνω υπόψιν τις τιμές $A+B=0, A+B=18$, θεωρώντας $A\neq B\neq C)$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ούπς!, σωστό σκεπτικό, λάθος μεταφορά αριθμών, αποκατάσταση δεδομένων:
      $\begin{cases}7+4+A+5+2+B+1= 0mod3\\3+2+6+A+B+4+C=0 mod3\end{cases} \Rightarrow $

      $(7+4+A+5+2+B+1)$ $-(3+2+6+A+B+4+C)=4-$ $C=0mod3 \Rightarrow C=1mod4\Rightarrow $
      $C={1,4,7}$
      και για τα $A,B$ έχουμε :
      $7+4+A+5+2+B+1=$ $(A+B)+19=$ $0mod3 \Rightarrow$ $ A+B+1mod3=0mod3 \Rightarrow$ $A+B=2mod3 \Rightarrow$ $A+B={2,5,8,11,14,17}$

      Διαγραφή
  2. O 1oς είναι 7+2+4+5+1+Α+Β άρα Α+Β=-1mod(9)=8mod9=2mod3
    O 2os: A+B+C=-3mod9=0mod 3
    (1)-> A+B=2 mod 3
    (2)-> A+B+C=0 mod 3
    (2)-(1)-- C=-2mod3=1mod3 (=1,4,7,10...)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Καλή χρονιά κ. Αλεξίου! Χαίρομαι πολύ για την τόσο εποικοδομητική συμμετοχή σας στο eisatopon ...

    ΑπάντησηΔιαγραφή