Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Recreational Mathematics, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Recreational Mathematics, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
Εχω βαλει την λυση ως εικονα http://s23.postimg.org/s6alu9jmz/gonies.jpg
ΑπάντησηΔιαγραφήΧαριν ευκολιας ονομαζω τις αγνωστες γωνιες
MAB=a
MBA=b
MCD=c
MDC=d
Ευκολα βλεπει κανεις απ' τα τριγωνα AMD & BMC οτι
DMA=180-40-70=70
CMB=180-50-20=110
-----------------------------------------------------
Για ολο το παραλληλογραμμο ABCD ισχυει
A+B+C+D=360
a+b+c+d=360-40-20-50-70
a+b+c+d=180 (1η παρατηρηση)
-----------------------------------------------------
Για τις παραπληρωματικες γωνιες D&C και Α&Β του παραλ/μου ισχυει:
70+d=180-50-c
d+c=60 και λογω αυτου στο τριγωνο DMC η γωνια DMC=120
a+40=180-b-20
a+b=120 (2η παρατηρηση) και λογω αυτου στο τριγωνο ΑΜΒ η γωνια ΑΜΒ=60
-----------------------------------------------------
Για τις ισες γωνιες Α&C του παραλ/μου ισχυει:
40+a=50+c
a-c=10
προσθετοντας την γωνια b κατα μελη εχω
a-c+b=10+b
120-c=10+b (λογω της 2ης παρατηρησης)
c+b=110 (3η παρατηρηση)
-----------------------------------------------------
Τωρα προεκτεινω την DM προς το Μ και τεμνει την ΒC στο L
ενω τεμνει και την προεκταση της AB στο Κ.
Ισχυει τωρα οτι για τις γωνιες
DMA+AMB+BML=180
70+60+BML=180
BML=50
Αρα τωρα στο τριγωνο MBL εχω
ΜLB=180-20-50
MLB=110 και επομενως BLK=70
-----------------------------------------------------
Bλεπω οτι BKL=d (εντος εναλλαξ γωνιες) , στο τριγωνο LBK ισχυει
70+BKL=LBK
70+BKL=180-20-b
70+d=160-b
d+b=90 (4η παρατηρηση)
Λογω τις 1ης+4ης παρατηρησης ισχυει οτι επισης a+c=90 (5η παρατηρηση)
-----------------------------------------------------
Λυνοντας το συστημα των (2,3,4,5) παρατηρησεων βρισκω οτι
a=MAB=50, b=MBA=70, c=MCD=40, d=MDC=20