Τρίτη, 4 Νοεμβρίου 2014

Δύο πέμπτα

Στο παρακάτω σχήμα, να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν του τετραγώνου του εγγεγραμμένου στο ημικύκλιο, ισούται με τα $\frac{2}{5}$ του εμβαδού του τετραγώνου που είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο με την ίδια ακτίνα.
Κάντε κλικ στο παρακάτω σχήμα για να δείτε την εξαιρετική λύση που μου έστειλε ο κ. Κώστας Δόρτσιος.
Δείτε εδώ ένα δυναμικό σχήμα, στο οποίο φαίνεται η λειτουργία του μετασχηματισμού της ομοιοθεσίας αυτής.  

2 σχόλια:

  1. Η πλευρά του εγγεγραμμένου στο κύκλο τετραγώνου είναι r*$\sqrt{2} $, άρα το εμβαδόν του είναι $2*r^{2 }$
    Εστω Χ η πλευρά του εγγεγραμμένου στο ημικύκλιο τετραγώνου. Εάν φέρουμε στο ημικύκλιο μία ακτίνα έως τη μία από τις δύο κορυφές του τετραγώνου που ευρίσκονται στη περιφέρεια, σχηματίζεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές Χ και Χ/2 και υποτείνουσα r. Οπότε $r^{2 }$=$5*X^{2 }/4$, και επομένως $Χ^{2 }$=$4*r^{2 }/5$, δηλαδή τα 2/5 του πρώτου τετραγώνου

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Και μια όμορφη οπτική απόδειξη "χωρίς λόγια" :
    http://www.futilitycloset.com/wp-content/uploads/2013/11/2013-11-25-some-odd-theorems-2.png

    ΑπάντησηΔιαγραφή