Σάββατο, 8 Νοεμβρίου 2014

Η Δωρεά

Τον Ιούλιο του 2014 η εταιρεία «Ο Μπάρμπα Μήτσος» εδώρησε μια μεγάλη ποσότητα ποδηλάτων, πρόκειται για έναν πενταψήφιο αριθμό (αβγδε), στα 41 σχολεία ενός νομού της χώρας, έτσι ώστε το κάθε σχολείο να πάρει τον ίδιο αριθμό ποδηλάτων. Το 2015, η εταιρεία θα διαθέσει, ως δωρεά, πάλι ένα πενταψήφιο αριθμό ποδηλάτων, για την ακρίβεια ο αριθμός αυτός προκύπτει, εάν από τον πενταψήφιο αριθμό των ποδηλάτων που διατέθηκαν το έτος 2014 μεταφέρουμε το πρώτο ψηφίο στο τέλος (βγδεα). Μπορούν να μοιραστούν τα ποδήλατα και πάλι εξίσου στα 41 σχολεία;
Πηγή:

3 σχόλια:

  1. Έστω $abcde$ ο αριθμός ποδηλάτων του $2014$ και $bcde=n$ και ο αριθμός γίνεται $an=10000a+n$ και μας δίνεται ότι $10000a+n \equiv0mod41$.
    Το $2015$ ο αριθμός ποδηλάτων είναι $10n+a$. Πρέπει να “διώξουμε” τον $n$ ή ενδεχομένως τον $a$. Πολλαπλασιάζω τον $10000a+n$ με το 10, γίνεται $100000a+10n$ και από αυτόν αφαιρώ τον $10n+a$. $100000a+10n -(10n+a)=$ $99999α=3^2\times41\times271a=$ $\equiv0mod41$.
    Αφού $10000a+n \equiv0mod41 \Rightarrow$ $100000a+10n\equiv0mod41$, άρα και $(10n+a)\equiv 0mod41-0mod41 \Rightarrow$ $(10n+a) \equiv 0mod41$
    Συνεπώς τα ποδήλατα μπορούν και το $2015$ να μοιρασθούν εξίσου στα $41$ σχολεία.
    Κάρλο, φαντάζομαι ότι αυτή τη φορά να ευχαριστήθηκες την λύση, καθώς σκεπτόμουν “φωναχτά”! :-)
    Καλό βράδυ!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Διώχνοντας τον $a$...
    Πρόβλεψα μεν ότι “Πρέπει να “διώξουμε” τον $n$ ή ενδεχομένως τον $a$”, μπήκα δε στον πειρασμό να το διαπιστώσω, γιαυτό το λόγο και τα παρακάτω.
    Είδαμε ότι τα ποδήλατα των ετών $2014$ και $2015$ είναι $(10000a+n)$ και $(10n+a)$ αντίστοιχα
    $(10n+a)\times10000=10000a+100000n$
    $(10000a+100000n)-(10000a+n)=99999n=$ $9\times41\times271n \equiv 0mod41$
    Επειδή $(10000a+n) \equiv 0mod41 \Rightarrow $
    $10000(10n+a) \equiv 0mod41+0mod41 \equiv 0mod41$
    Επειδή οι αριθμοί $10000$ και $41$ είναι πρώτοι μεταξύ τους επάγεται ότι $(10n+a) \equiv 0mod41$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. @Ευθύμης Αλεξίου
    Συγχαρητήρια!! Πολυ ωραία η ανάλυση που έκανες.

    ΑπάντησηΔιαγραφή