Τετάρτη, 5 Νοεμβρίου 2014

Περιοχές σε τρίγωνο

Κάθε πλευρά ενός τριγώνου $ \triangle ΑΒΓ$ διαιρείται σε $p$ ίσα μέρη, με $p$ πρώτο αριθμό $\geq 3$. Από κάθε σημείο διαίρεσης κάθε πλευράς γράφονται οι ευθείες που καταλήγουν στην αντίστοιχη απέναντι κορυφή. Ποιος είναι ο αριθμός των διακριτών ξένων μεταξύ τους (δηλαδή η ένωση των εμβαδών τους είναι το εμβαδόν του τριγώνου, π.χ. στο ελλιπές σχήμα είναι $9$) περιοχών που σχηματίζονται στο εσωτερικό του τριγώνου; Ο αριθμός είναι πάντα ο ίδιος για κάθε $p$ και για κάθε είδος τριγώνου;

5 σχόλια:

  1. H ερώτηση : "o αριθμός είναι πάντα ο ίδιος για κάθε $p$ ; " δεν υπονοεί "ίδιο" αριθμό για όλα τα $p$ βέβαια , αλλά έχει την έννοια του αν ο αριθμός είναι σταθερή συνάρτηση του $p$. π.χ $p^{2}$ διά κάθε $p$ .
    (προφανώς το $p^{2}$ είναι λάθος απάντηση. :-) )

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. κι όχι "σταθερή συνάρτηση του $p$ " που έγραψα...αλλά "η ίδια συνάρτηση του $p$ "

      Διαγραφή
  2. Από μία κορυφή του τριγώνου χαράζονται προς τα p-1 σημεία διαίρεσης της απέναντί της πλευράς p-1 τμήματα, τα οποία χωρίζουν το τρίγωνο σε p διακριτές περιοχές.
    Αν χαράξουμε και τα p-1 τμήματα από μια δεύτερη κορυφή προς τα σημεία διαίρεσης της απέναντί της πλευράς, καθένα από αυτά χωρίζεται από τα p-1 ήδη χαραγμένα τμήματα σε p μικρότερα διαδοχικά τμήματα και κάθε τέτοιο τμήμα διαιρεί μια προϋπάρχουσα διακριτή περιοχή σε δύο, δηλαδή προσθέτει και μία περιοχή. Επομένως προστίθενται (p-1)p διακριτές περιοχές.
    Αν χαράξουμε τώρα και τα p-1 τμήματα από την τρίτη κορυφή προς τα σημεία διαίρεσης της απέναντί της πλευράς, καθένα από αυτά χωρίζεται από τα 2p-2 ήδη χαραγμένα εσωτερικά τμήματα το πολύ σε 2p-1 μικρότερα διαδοχικά τμήματα και κάθε τέτοιο τμήμα διαιρεί μια προϋπάρχουσα διακριτή περιοχή σε δύο, δηλαδή προσθέτει και μία περιοχή (αν όμως κάποιο από τα τελευταία τμήματα συναντάει δύο προϋπάρχοντα στο σημείο τομής τους, τα τμήματα που θα προκύψουν από τη διαίρεσή του θα είναι λιγότερα από 2p-1). Επομένως προστίθενται, το πολύ άλλες (p-1)(2p-1) περιοχές. Το μέγιστο συνολικό πλήθος των διακριτών περιοχών είναι:
    p+(p-1)p+(p-1)(2p-1) = 3p(p-1)+1.
    Αν η πιο πάνω ανάλυση είναι σωστή, το πρόβλημά μας πλέον αφορά στη διερεύνηση ύπαρξης συντρεχόντων τμημάτων, ανά τρία στο ίδιο σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου, δηλαδή αν για κάποιο p μπορεί ή όχι να ισχύει το θεώρημα του Ceva για κάποια ή κάποιες από τις τριάδες των ευθειών που χαράζονται από τις τρεις κορυφές προς τις αντίστοιχες απέναντι πλευρές. Το ερώτημα αυτό ανάγεται στο ισοδύναμο αριθμοθεωρητικό ερώτημα αν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι κ, λ, μ μικρότεροι του p, για τους οποίους να ισχύει η ισότητα κ*λ*μ = (p-κ)*(p-λ)*(p-μ).
    Νομίζω ότι για p=3, 5, 7, 11 δεν υπάρχει τέτοια τριάδα ακεραίων και υποψιάζομαι ότι δεν υπάρχει ούτε για μεγαλύτερους πρώτους.
    Αν οι υποψίες μου είναι σωστές (τι λες κι εσύ Γιώργο;), τότε νομίζω ότι σε κάθε περίπτωση ο αριθμός των διακριτών περιοχών του τριγώνου είναι ο μέγιστος δυνατός, δηλαδή 3p(p-1)+1.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ευχαριστώ πολύ για το σχόλιο και την εξαιρετική προσέγγισή σου Θανάση!
      Πολύ σωστά υπολόγισες τις διαμορφούμενες διακριτές περιοχές σε :
      $3p^{2}-3p+1=p^{3}-(p-1)^{3}$
      O αριθμός αυτός δεν μεταβάλλεται για τις διάφορες τιμές του p, και ασφαλώς το είδος του τριγώνου δεν παίζει ρόλο,μιας και ο συλλογισμός σου έχει εφαρμογή για κάθε τρίγωνο.
      Όπως πολύ σωστά επισημαίνεις ,το λεπτό και όμορφο σημείο του προβλήματος (που είναι από Ισπανικό μαθηματικό διαγωνισμό) είναι να διερευνήσει κανείς αν αυτό είναι απλώς ένα "άνω όριο" ή αν ισχύει πάντα. Για να συμβαίνει αυτό δεν πρέπει να υπάρχουν χωρία μηδενικού εμβαδού, δηλαδή δεν πρέπει να υπάρχουν 3 γραμμές που συντρέχουν στο ίδιο σημείο.
      Το εφαρμόσιμο θεώρημα που έχουμε -όπως πολύ σωστά κατάλαβες- είναι το Θ. Ceva.Me αυτό δείχνεται πως διά κάθε p ,δεν υπάρχουν συντρέχουσες ευθείες.
      Ας υποθέσουμε πως αριθμούμε ωρολογιακά και σε mod (p) ,ξεκινώντας από κάποια κορυφή, τα $3p$ σημεία του τριγώνου (με το 0 σε κάθε κορυφή, λόγω του mod(p)) . H ικανή και αναγκαία συνθήκη βάσει Ceva για να συντρέχουν σε σημείο τρεις γραμμές είναι:
      $\frac {i}{p-i}\frac {j}{p-j}\frac {k}{p-k}=1$
      για τις αντίστοιχες "συντεταγμένες" $0< i,j,k<p$
      Αυτό όμως θα σήμαινε πως το $2ijk$ πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του $p$, πράγμα αδύνατο για πρώτο μεγαλύτερο ή ίσο του 3 . Άρα οι περιοχές είναι πάντα και για κάθε πρώτο:
      $ 3p(p-1)+1=p^{3}-(p-1)^{3}$

      Διαγραφή
  3. Ευχαριστώ πολύ Γιώργη! Ωραιότατο το πρόβλημα από την primera division :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή