Πέμπτη, 27 Νοεμβρίου 2014

Κορίτσι και αγόρι

Ένα πρόβλημα "μαθηματικής ελπίδας". Πόσα παιδιά αναμένεται πως πρέπει να κάνει ένα ζευγάρι ώστε να έχει τελικά οπωσδήποτε και κορίτσι και αγόρι;
Σημ. To πρόβλημα είναι καθαρά μαθηματικό-πιθανοτικό και όχι βιολογικό. Θεωρούμε δηλαδή πως η πιθανότητα σε κάθε γέννα για αγόρι ή κορίτσι είναι η ίδια και ανεξάρτητη από το ιστορικό των προηγούμενων γεννήσεων. Επίσης σε κάθε γέννα γεννιέται ένα και μόνο παιδί.
B.Πρόβλημα: Ο φίλος σας ο Μπάμπης σάς κάλεσε στο σπίτι του για να γνωρίσετε την οικογένειά του. Σας είπε πως έχει δύο παιδιά. Χτυπάτε το κουδούνι και ανοίγει ένα κορίτσι. Ποια είναι η πιθανότητα και το δεύτερο παιδί του Μπάμπη να είναι κορίτσι;

42 σχόλια:

  1. Πρόσθεσα και ένα Β.πρόβλημα στην ανάρτηση.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Για το αρχικό πρόβλημα, ξέροντας ότι το 1ο είναι κορίτσι, τότε είναι 50% πιθανό το 2ο παιδί να είναι κορίτσι (κι άλλο τόσο πιθανό να είναι αγόρι). Δεν πρέπει να υπολογίζουμε τα ενδεχόμενα ΑΚ, ΑΑ αφού το 1ο είναι Κοριτσι!.

      Διαγραφή
  2. 1) Σε χ παιδιά υπάρχουν 2 τρόποι ώστε τα πρώτα χ-1 να είναι του ίδιου φύλου και το τελευταίο διαφορετικού (επί συνόλου 2^χ τρόπων). Για χ από 2 έως άπειρο η μέση τιμή είναι:
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum%28x+*+1%2F2%5E%28x-1%29%29%2C+x%3D2+to+inf

    Β) Από τις τέσσερις δυνατές περιπτώσεις έχει αποκλειστεί η μία. Άρα η πιθανότητα θα είναι 1/3.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Σωστή ασφαλώς η απάντησή σου για το Α. Θέμα, Halb!
      3 η μαθηματική ελπίδα.

      Διαγραφή
  3. Για να έχουν ενδιαφέρον για όσους περισσότερους τα θέματα, θα περιμένω κι άλλες απόψεις σχολιαστών πριν εκφέρω ετυμηγορία.:-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Το Β είναι 50%.
    Οι συνδυασμοί είναι 4!!
    Α1 Α2
    Α1 Κ2
    Κ1 Α2
    Κ1 Κ2

    Οι συνδυασμοί είναι ο 2, ο 3 και δυο φορές ο 4.
    Στον 4ο συνδυασμό την πόρτα μπορεί να την άνοιξε η Κ1, μπορεί να την άνοιξε η Κ2

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Για να ανάψει (ενδεχομένως..) η συζήτηση, ας δώσω την πρώτη σκέψη μου για το Β:
    Είμαστε στο δρόμο για το σπίτι του Μπάμπη και επεξαργαζόμαστε στο μυαλό μας την πληροφορία που μάς έδωσε. "Έχω 2 παιδιά".
    Πριν ανοίξει η πόρτα ,τι μπορεί να είναι τα παιδιά;
    2 αγόρια: ας τα ονομάσουμε: A1 A2
    2 κορίτσια:ας τα ονομάσουμε:K1 K2
    1 κορίτσι και 1 αγόρι : A K
    ΜΟΛΙΣ ΑΝΟΙΞΕΙ η πόρτα το πρώτο ενδεχόμενο αποκλείεται.
    Μας έχει ανοίξει 1 κορίτσι.
    Αν είναι το κορίτσι του ζεύγους Α Κ μένει 1 Α
    Αν είναι το Κ1 του ζεύγους Κ1 Κ2 μένει 1 Κ (το Κ2)
    Αν είναι το Κ2 του ζεύγους Κ1 Κ2 μένει 1 Κ (το Κ1)
    Αλλο ενδεχόμενο δεν υπάρχει. p(K και το δεύτερο)=2/3

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Γιώργη, νομίζω ότι δεν αρκεί η απαρίθμιση των ενδεχομένων για να στοιχειοθετηθεί η πιθανότητα που υπολογίζεις. Πρέπει να εξηγηθεί πειστικά και ότι αυτά είναι μεταξύ τους ισοπίθανα. Εκεί, κατά την ταπεινή μου γνώμη, υπάρχουν κάποια θέματα.

      Διαγραφή
    2. Και για να συνεχίσω λίγο το σχόλιο του Θανάση, το ενδεχόμενο 2 παιδιά διαφορετικού φύλου, έχει διπλάσιες πιθανότητες από το κάθε ένα από τα άλλα δύο ενδεχόμενα (2 παιδιά ίδιου φύλου)

      Διαγραφή
  6. Μερικές ακόμη απόψεις εδώ:
    http://math.stackexchange.com/questions/15055/in-a-family-with-two-children-what-are-the-chances-if-one-of-the-children-is-a

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Ο Μπάμπης έχει δύο παιδιά: 4 ισοβαρείς συνδυασμοί.

    Άνοιξε ένα από τα δυο την πόρτα: 4*2=8 ισοβαρείς συνδυασμοί (Σ1α: άνοιξε την πόρτα ο 1, Σ1β: άνοιξε την πόρτα ο 2. κλπ) .

    Αυτός που άνοιξε ήταν κορίτσι: Φεύγουν οι 4 και μένουν 4 ισοβαρείς συνδυασμοί.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. Θα προσπαθήσω να γίνω πιο συγκεκριμένος:
    Ο υπολογισμός του Γιώργου που καταλήγει σε πιθανότητα για δεύτερο κορίτσι 2/3 ξεκινάει, νομίζω αυθαίρετα, από κάποιες αρχικές πιθανότητες για τα ενδεχόμενα κκ και κα ίσες μεταξύ τους (1/2 καθεμιά), και στη θέα του κοριτσιού ανασταθμίζει τις πιθανότητες των ενδεχομένων με βαρύτητα 2/3 το κκ (αφού εδώ μπορεί να είδαμε είτε το ένα είτε το άλλο κορίτσι) και 1/3 το κα (αφού ένα είναι εδώ το κορίτσι). Ως προς τους συντελεστές στάθμισης καμία αντίρρηση, αλλά από ποια αρχική κατανομή (πριν ανοίξει η πόρτα) προκύπτουν ίσες πιθανότητες για τα ενδεχόμενα κκ και κα;

    Νομίζω ότι η ορθή απάντηση στο ερώτημα προϋποθέτει μια παραδοχή ως προς την κατανομή των αρχικών πιθανοτήτων, πριν ανοίξει η πόρτα και δούμε κορίτσι. Θα προσπαθήσω να δώσω δύο διαφορετικά σενάρια:

    α) Όπως διατυπώνεται το πρόβλημα, φαίνεται ότι αρχικά δε γνωρίζουμε τίποτε για τα παιδιά του Μπάμπη, πέρα από το γεγονός ότι είναι δύο. Συνεπώς, οι αρχικές πιθανότητες των ενδεχομένων σύνθεσης των φύλων των δύο παιδιών είναι:
    Ρ(2κ)=1/4, Ρ(κα)=1/2, Ρ(2α)=1/4, με δεδομένο ότι στον πληθυσμό όσων έχουν δύο παιδιά, όσοι έχουν δύο κορίτσια είναι στατιστικά ισάριθμοι με όσους έχουν δύο αγόρια, ενώ όσοι έχουν κορίτσι-αγόρι είναι διπλάσιοι όσων έχουν παιδιά αποκλειστικά του ενός φύλου. Με το άνοιγμα της πόρτας και τη θέα κοριτσιού, αποκλείεται το τρίτο ενδεχόμενο (2α) και μένουν τα δύο πρώτα, με τις σχετικές πιθανότητές τους. Έτσι, οι τελικές πιθανότητες, όπως προκύπτουν και από τον κανόνα Bayes, είναι Π(2κ)=1/3 και Π(κα)=2/3. Το ενδεχόμενο λοιπόν, στο σενάριο αυτό, να είναι και το δεύτερο παιδί κορίτσι είναι 1/3.

    β) Αν γνωρίζαμε πριν από το άνοιγμα της πόρτας ότι το ένα τουλάχιστον από τα δύο παιδιά του Μπάμπη είναι κορίτσι, τότε οι αρχικές πιθανότητες, πριν από το άνοιγμα της πόρτας, θα ήταν Ρ(2κ)=1/3, Ρ(κα)=2/3 και Ρ(2α)=0, δεδομένου ότι στον πληθυσμό όσων έχουν δύο παιδιά με το ένα τουλάχιστον κορίτσι, κανένας δεν έχει 2 αγόρια, ενώ όσοι έχουν ένα κορίτσι και ένα αγόρι είναι στατιστικά διπλάσιοι όσων έχουν δύο κορίτσια. Το άνοιγμα της πόρτας από κορίτσι, στην περίπτωση αυτή, δεν μας δίνει τη δυνατότητα αποκλεισμού κάποιου από τα αρχικά ενδεχόμενα (πέρα από το ενδεχόμενο 2 αγοριών, που όμως ήταν εξαρχής αποκλεισμένο), αλλά εφόσον θεωρήσουμε δεδομένο ότι η πόρτα ανοίγεται πάντα από ένα παιδί, μπορούμε να σκεφτούμε ότι στο ενδεχόμενο 2κ αυτό θα συνέβαινε με πιθανότητα 1, ενώ στο ενδεχόμενο κα θα συνέβαινε με πιθανότητα 1/2. Η αναστάθμιση των ενδεχομένων, κατά Bayes, πλέον γίνεται ως εξής:
    P(2κ / ανοίγει κ) = Ρ(ανοίγει κ / 2κ)*Ρ(2κ) = 1*1/3 = 1/3
    P(κα / ανοίγει κ) = Ρ(ανοίγει κ / κα)*Ρ(κα) = 1/2*2/3 = 1/3
    Έτσι, οι τελικές πιθανότητες των ενδεχομένων υπολογίζονται:
    Π(2κ)=(1/3)/(1/3+1/3) = 1/2
    Π(κα)=(1/3)/(1/3+1/3) = 1/2
    Το ενδεχόμενο επομένως να είναι και το δεύτερο παιδί κορίτσι είναι 1/2.

    Νομίζω πάντως ότι η διατύπωση του προβλήματος, ως έχει, ευνοεί, αν όχι επιβάλλει το α) σενάριο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  9. Θανάση ,πώς δίνω ίσες αρχικά; Aς το γράψω αναλυτικά το ποια δυνατά ζευγάρια παιδιών υπάρχουν ,με πρώτο αναγραφόμενο αυτό που θα ανοίξει την πόρτα:
    A1 A2
    A2 A1
    K1 K2
    K2 K1
    A K
    K A
    Ας κάνουμε μια υπόθεση εργασίας χωρίς φορμαλισμό και τύπους και αριθμούς:
    Τι γνώση έχουμε πηγαίνοντας στο σπίτι του Μπάμπη; Ας την πούμε αυτή την “εκ των προτέρων» ή a priori γνώση μας και συνοψίζεται στο «Ο φίλος μου ο Μπάμπης έχει 2 παιδιά» Σύμφωνοι;
    Ας δώσει ο καθένας ό,τι τιμές θέλει σ’αυτές τις αρχικές πιθανότητες. Δεν έχει τεθεί ΑΚΟΜΗ ερώτημα στην εκφώνηση. Σωστά;
    Φτάνουμε στο Μπαμπόσπιτο και μας ανοίγει 1 κορίτσι.
    ΤΩΡΑ τίθεται το ερώτημα «Ποια η πιθανότητα και το δεύτερο παιδί να είναι κορίτσι»;
    Η πιθανότητα είναι δεσμευμένη-υπό συνθήκη.
    Ας πούμε πως μόλις σας ανοίξει το κορίτσι ,σκέφτεστε «πω,πώ! Αφηρημένο γαϊδούρι είμαι! Ήρθα , χωρίς να φέρω τίποτε στα δυο παιδιά! Eυτυχώς υπάρχει Μακντόναλντς δίπλα, οπότε ας πεταχτώ να τους πάρω από ένα Χάπυ Μηλ. Έχω λεφτά όμως για ακριβώς δύο! Aς πάρω το ένα κοριτσίστικο (το σίγουρο, για το κορίτσι που μου άνοιξε). E, τώρα αν πρέπει να ρισκάρετε για το δεύτερο Χάπυ μηλ; θα το πάρετε αγορίστικο Χαλμπ Ντινγκ,Θανάση και Στράτο; Μάλλον, αφού η πιθανότερη πιθανότητα είναι 1/3 . Ο κος Τάκης Κωτσιόπουλος θα έριχνε κορώνα-γράμματα (αφού δίνει 50%). Εγώ θα το έπαιρνα κοριτσίστικο. :-)
    Γιατί; Επειδή η πιθανότητα που δίνω στο φύλο του παιδιού που δεν έχω δει ακόμη, είναι Mπαγιεσιανή.
    Είναι η πιθανότητα το δεύτερο παιδί να είναι κορίτσι, δεδομένου πως ο Μπάμπης έχει σίγουρα ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ένα κορίτσι, αυτό που ήδη με περιμένει στην πόρτα να φέρω τα παιδικά γεύματα.
    Κι αυτή είναι ξεκάθαρα 2/3.
    Εξυπακούεται πως αν είμαι πιο προνοητικός και έχω πάρει εκ των προτέρων δώρο στην τύχη για 2 παιδιά, ο βαθμός άγνοιάς μου θα ήταν μεγαλύτερος και θα είχα άλλες πιθανότητες να πετύχω τα σωστά ανά φύλο δώρα. Οι πιθανότητες είναι degree of belief (μέτρον πίστης ή πιο ταιριαστά: μέτρον της άγνοιάς μας ή της γνώσης μας, το ίδιο κάνει).

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Θα συμφωνήσω με την άποψη και την ανάλυση του Θανάση ότι η απάντηση στο β’ερώτημα είναι 1/3.
      Θα συμφωνήσω ότι για δύο παιδιά, οι δυνατοί συνδυασμοί είναι ΑΑ,ΑΚ,ΚΑ,ΚΚ, όλοι ισοπίθανοι. Το ότι ένα παιδί (ΠΡΟΣΟΧΗ: ΕΝΑ παιδί, όχι το μεγαλύτερο, ή το ψηλότερο, ή το βαρύτερο, ή το, με βάση οποιοαδήποτε διάταξη, πρώτο ή δεύτερο παιδί) είναι κορίτσι, απλά αποκλείει τον συνδυασμό ΑΑ, αφήνοντας τρείς ισοπίθανους, εκ των οποίων ένας είναι αυτός που προϋποθέτει δύο κορίτσια. Επομένως η πιθανότητα είναι 1/3.
      Αν όμως μας έλεγαν ότι π.χ., το πρώτο παιδί είναι κορίτσι, τότε η πληροφορία αλλάζει. Αποκλείεται πλέον και ο συνδυασμός ΑΚ, αφήνοντας δύο πιθανούς (ΚΑ, ΚΚ), με πιθανότητα ½ ο καθένας.
      Να δώσω μία αναλογία για να γίνει περισσότερο κατανοητό. Εστω ότι μπροστά μας υπάρχουν δύο νομίσματα σκεπασμένα και μας λένε ότι σίγουρα κάποιο είναι γράμματα. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι και τα δύο γράμματα; Οσο δεν βλέπουμε τα νομίσματα, σκεφτόμαστε ότι από τους 4 δυνατούς συνδυασμούς (ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ), η πληροφορία που έχουμε απλά απορρίπτει τον πρώτο. Επομένως μένουν 3 περιπτώσεις, με πιθανότητα 1/3 να να είναι και τα δύο γράμματα. Αν όμως μας έλεγαν, ή μας αποκάλυπταν ότι π.χ., το αριστερό νόμισμα είναι γράμματα, τότε η πιθανότητα να είναι και το άλλο γράμματα γίνεται ½.
      Οσο για το πρώτο ερώτημα, η απάντηση είναι 3 παιδιά. Το πρώτο παιδί θα είναι είτε αγόρι, είτε κορίτσι, και από εκεί και πέρα θα πρέπει να υπολογίσουμε τον αναμενόμενο αριθμό παιδιών, προκειμένου να γεννηθεί και ένα του αντίθετου φύλου. Δεδομένου ότι αυτό το ενδεχόμενο θα έχει πιθανότητα ½, ο αναμενόμενος αριθμός προσπαθειών μετά το πρώτο παιδί θα είναι 2. (θεωρώ ότι είναι γνωστό ότι ο αναμενόμενος αριθμός προσπαθειών για την επίτευξη ενός ενδεχομένου ισούται με το αντίστροφο της πιθανότητας του ενδεχομένου αυτού). Επομένως σύνολο παιδιών 1+2=3

      Διαγραφή
    2. Στράτο, ίσως έχεις υπόψι σου το "παράδοξο του Μπερτράν"
      Bertrand’s Box Paradox (μάς λένε πως 3 ίδια κουτιά το ένα περιέχει: 2 χρυσά νομίσματα, το δεύτερο έχει 2 ασημένια νομίσματα, και το τρίτο έχει ένα από κάθε είδος. Διαλέγουμε ένα κουτί στην τύχη, και τραβούμε ένα νόμισμα που είναι χρυσό.
      Η αναλογία με το θέμα μας είναι απόλυτη. σωστά;
      Αν πούμε αυτό που θα έλεγαν οι περισσότεροι άνθρωποι ,ότι το ζευγάρι μέσα στο κουτί θα είναι είτε ΧΧ είτε ΧΑ, άρα η πιθανότητα για ΧΧ είναι 1/2, κάνουμε λάθος!. Η διάταξή μας είναι είτε Χ1Χ2-κι έχουμε διαλέξει το Χ1,είτε Χ1Χ2-κι έχουμε διαλέξει το Χ2,
      είτε Χ1Α2-κι έχουμε διαλέξει το Χ1, άρα η απάντηση είναι 2/3

      Διαγραφή
    3. http://eisatopon.blogspot.com/2014/01/blog-post_9246.html

      Διαγραφή
    4. Οχι Γιώργο, η αναλογία δεν είναι σωστή. γιατί στο στο παράδειγμα σου υπάρχει ένα μόνο κουτί ΧΑ, ενώ στη περίπτωση μας το αντίστοιχο κουτί (2 παιδιά διαφορετικού φύλου) εμφανίζεται δύο φορές.
      Θα προσπαθήσω να δώσω ακόμα ένα επιχείρημα:
      Εντόπισα 100 φιλικά μου ζευγάρια που έχουν από 2 παιδιά. Όπως αναμενόταν, 25 από αυτά έχουν δύο αγόρια, 25 έχουν δύο κορίτσια και 50 έχουν 1+1. (τα 25 είχαν γεννήσει πρώτα το αγόρι και μετά το κορίτσι και τα άλλα 25, αντιστρόφως)
      Στη συνέχεια αφαίρεσα από τη λίστα μου τα 25 ζευγάρια με τα δύο αγόρια και κράτησα τα υπόλοιπα 75. Κάθε ένα από αυτά τα ζευγάρια, μπορούν να δηλώσουν ότι «έχουμε δύο παιδιά, εκ των οποίων τουλάχιστον το ένα είναι κορίτσι». Όμως μόνο 25 από αυτά (το 1/3) έχει δύο κορίτσια.

      Διαγραφή
    5. Ε πώς ρε συ Στράτο δεν είναι σωστή; Αφού και στο θέμα μας το έχουμε μπροστά μας το Κορίτσι (ή Χρυσό νόμισμα στου Μπερτράν). Το Κ1 ή Χ1 (κορίτσι ή χρυσί για την 1η επιλογή) είναι ΔΕΔΟΜΕΝΟ. Βεβαιότητα, όχι πιθανότητα. Το βλέπουμε, μπορούμε και να το ρωτήσουμε πώς το λένε ας πούμε πριν πάμε στα Γκούντις.

      Διαγραφή
    6. Γιώργο, το πρόβλημα μας έχει δύο βασικές διαφορές με το πρόβλημα του Μπερτράν:
      Πρώτον, στη δική μας περίπτωση υπάρχουν δύο κουτιά Γ και όχι ένα (καθώς έχουμε τις περιπτώσεις ΧΑ και ΑΧ) και δεύτερον στο πρόβλημα του Μπερτράν ανοίγουμε το «πρώτο» συρτάρι, ενώ στη δική μας περίπτωση ανοίγουμε «κάποιο» συρτάρι
      Η σωστή αναλογία με το πρόβλημα του Μπερτράν θα ήταν η εξής:
      1. Κουτί Α , συρτάρι α =χρυσό
      2. Κουτί Α, συρτάρι β= χρυσό
      3. Κουτί Β, συρτάρι α = αργυρό
      4. Κουτί Β, συρτάρι β= αργυρό
      5. Κουτί Γ1, συρτάρι α = χρυσό
      6. Κουτί Γ1, συρτάρι β = αργυρό.
      7. Κουτί Γ2, συρτάρι α = αργυρό
      8. Κουτί Γ2, συρτάρι β = χρυσό

      Όταν λοιπόν βρούμε χρυσό νόμισμα σε κάποιο συρτάρι που ανοίγουμε (προσοχή: σε κάποιο συρτάρι, όχι στο πρώτο συρτάρι), τότε απλά δεν εχουμε ανοιξει το συρτάρι Β. Εχουμε ανοίξει κάποιο από τα Α, Γ1 ή Γ2 (πιθανότητα για Α=1/3)
      Να πω ακόμα ότι το συγκεκριμένο θέμα που πραγματευόμαστε, παρουσιάστηκε ως παράδοξο από τον Martin Gardner το 1959 στο Scientific American. Ανάμεσα στους πολλούς δικτυακούς τόπους που το πραγματεύονται, αναφέρω ενδεικτικά το
      http://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

      Διαγραφή
    7. Στράτο, αντιγράφω επι λέξει από το λινκ της Wiki/Boy or Girl paradox που έδωσες(περίπου στη μέση):
      "..If we have no information about the populations then we assume a "flat prior", i.e. P(GG) = P(BB) = P(G.B) = 1/3. In this case the "at least" assumption produces the result P(BB|B) = 1/2, and the sampling assumption produces P(BB|b) = 2/3, a result also derivable from the Rule of Succession."
      Αυτό ακριβώς ισχυρίζομαι κι εγώ. Πως έχουμε την εκφώνηση και μόνο αυτή και μια μπαγιεσιανή πιθανότητα. Δεν δικαιούμαι να κάνω πρόσθετες a priori υποθέσεις για την κατανομή του πληθυσμού.
      ΥΓ. Αυτό που λες για το "πρώτο" και το "κάποιο" συρτάρι στο Μπερτρανικό, δεν έχει διαφορά. Το παιδί που ανοίγει την πόρτα είναι το "πρώτο" συρτάρι και το παιδί που περιμένει μέσα είναι το δεύτερο

      Διαγραφή
  10. καλησπέρα κι απο εμένα , παρακολουθώ με ενδιαφέρον την συζητηση, συμφωνώ με Θανάση-Στράτο, αφού μετα την απόριψη του ενδεχομένου ΑΑ μένουν τα ΚΚ, ΚΑ , ΑΚ τα οποια είναι ισοπιθανα άρα 1/3 για το ΚΚ.
    Γιωργο θα μελετήσω και το παραδειγμα σου με το κουτι ,για να καταλάβω αν έχουμε την ίδια ακριβώς περίπτωση.

    Στρατο ,ως προς το α ερώτημα δεν καταλαβαίνω το εξής, σε δυο γέννες η πιθανότητα να έχουμε ΑΚ η ΚΑ είναι 1/2, άρα αναμενόμενος αριθμός ίσο με 2 , που έχω λάθος?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  11. Στέλιο, για το Α Θέμα, η αυστηρή φορμαλιστική προσέγγιση είναι η εξής: Oι γονείς θα έχουν και αγόρια και κορίτσια μετά και τη γέννηση του ν-ιοστού παιδιού,υπό την προϋπόθεση πως τα πρώτα ν-1 παιδιά είναι του ιδίου φύλου και το νιοστό τού αντιθέτου φύλου.
    Αυτό μπορεί να συμβεί με 2 τρόπους (από αγόρια σε κορίτσι ή από κορίτσια σε αγόρι) από 2^ν συνολικά δυνατούς.
    Ήτοι, η πιθανότητα είναι: 1/2^(ν-1)= 2^(1-ν)
    Αρα ο αναμενόμενος αριθμός παιδιών για να γίνει αυτό,είναι:
    Σ(από 2 έως άπειρο) (ν * 2^(1-ν))=3

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  12. Γεια σας κι από μένα. Γιώργο με το που είδα αγόρια και κορίτσια στο θέμα κατάλαβα πως θα γίνει καβγάς. Ρίχνω λοιπόν κι εγώ λάδι στη φωτιά:
    Για το Α βρίσκω πως με πιθανότητα 1/2 θα χρειαστεί να γεννηθούν 2 παιδιά, με πιθανότητα 1/4 θα χρειαστεί να γεννηθούν 3 παιδιά, κλπ. μέχρι το άπειρο. Άρα ο μέσος (ή αναμενόμενος) αριθμός παιδιών που θα χρειαστεί να γεννηθούν είναι:
    $$ \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2^i}(i+1)=3 $$

    Για το Β ακολουθώ τον τύπο της δεσμευμένης πιθανότητας. Ορίζω τα εξής ενδεχόμενα:
    Α = Ανοίγει ένα κορίτσι (με δεδομένο ότι θα ανοίξει το ένα από τα δύο παιδιά του με ίση πιθανότητα το καθένα).
    Β = Ο Μπάμπης έχει δύο κορίτσια
    Είναι P(A και B) = P(B)
    Οπότε P(B|A) = P(A και B) / P(A) = P(B) / P(A) = (1/4) / (1/2) = 1/2
    Άρα η πιθανότητα να έχει ο Μπάμπης δύο κορίτσια είναι 50%.

    Αν αντί για Α = Ανοίγει ένα κορίτσι, είχαμε Α = Τουλάχιστον το ένα παιδί του είναι κορίτσι, τότε θα είχαμε P(Α) = 3/4 και P(B|A) = 1/3.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Πάνο,μερσί για την συνεισφορά. Δεν γίνεται όμως καβγάς. Συζήτηση και διερεύνηση πολιτισμένων και ανοιχτόμυαλων ανθρώπων θα την έλεγα εγώ. :-)
      Θα πάρω το θάρρος να ζητήσω από τον αγαπητό Χαλμπ Βέσεν Χαλμπ Ντινγκ,που έχει ωραία γκατζετάκια προσομοιωτές και τη σχετική γνώση, αν εχει διαθεση να κάνει προσομοιώσεις του Β θέματος και να μας πει τί βγάζει το πείραμα; (για πολλές επαναλήψεις βέβαια). Ένα κουτάκι-σπιτάκι που έχει μέσα 2 κορίτσια, ή 2 αγόρια, ή 1 κι 1 και τραβάμε 1 κορίτσι.

      Διαγραφή
    2. Να τονίσω ένα λεπτό σημείο Γιώργο. Οπως διατυπώνεις το πείραμα, γίνεται η παραδοχή ότι οι 3 περιπτώσεις (2 κορίτσια, 2 αγόρια, ή 1+1) είναι ισοπίθανες, ενώ δεν είναι. Νομίζω ότι ολοι συμφωνούμε ότι οι πιθανότητες είναι 1/4, 1/4 και 1/2 αντίστοιχα

      Διαγραφή
    3. E, όχι Στράτο! Εδώ ακριβώς βρίσκεται η διαφωνία μας. Αλλιώς θα συμφωνούσαμε στον υπολογισμό των πιθανοτήτων,δεν είμαστε και χθεσινοί. :-)
      H "διαφορά" μας είναι -ας την πω- ιδεολογικού περιεχομένου. Καταλαβαίνεις τι εννοώ φαντάζομαι.
      Εγώ θεωρώ πως δεν δικαιούμαι (δεν έχω την ελευθεριότητα να κάνω -εύλογες κατα τα άλλα -υποθέσεις,δηλαδή) να αποδώσω "κατανομή" στον πλυθησμό,καθώς δεν ξέρω ας πούμε ούτε την κοινωνία στην οποία ζεί ο Μπάμπης ,ούτε την πόλη του ,κ.λ.π.Ξέρω μόνο πως μέσα στο σπίτι του είναι είτε η Μαρία και η Ελένη, είτε ο Γιάννης και ο Αλέκος, είτε η Γιάννα και ο Κώστας και μού άνοιξε μία από τις Μαρία, Ελένη ή Γιάννα.
      "Aπογυμνώνω " δηλαδή το θέμα από τον κοινωνικό του περίγυρο και μένω στο "Κουτί". Εντάξει, οπωσδήποτε είναι και αρκετά φιλοσοφικό το πρόβλημα και δεν τρέχει και τίποτα και να μη συμφωνήσουμε τελικά. :-)

      Διαγραφή
    4. Γιώργο, φυσικά δεν εννοούσα ότι θα γίνει πραγματικός καβγάς αλλά πνευματικός, αφού όλοι όσοι συμμετέχουν στη συζήτηση εκτός από εμένα είναι ευγενέστατοι. Νομίζω πως το πιο κατάλληλο πείραμα για την περίσταση είναι να συμβολίσουμε το κορίτσι με Κορώνα και το αγόρι με Γράμματα και να ρίχνουμε δύο νομίσματα πολλές φορές καταγράφοντας τα αποτελέσματα. Νομίζω θα βρούμε πως Κορώνα μαζί με Γράμματα έρχονται στο 1/2 των περιπτώσεων, δύο Κορώνες στο 1/4 και δύο Γράμματα στο 1/4 των περιπτώσεων.

      Διαγραφή
  13. Πάνο, έχω μια ερώτηση, στην πρώτη περίπτωση το P(B|A) μπορει να διαβαστεί, "ποια η πιθανότητα ο Μπάμπης να έχει 2 κορίτσια υπο την προυπόθεση ότι ανοίγει ένα κορίτσι" αυτη η φράση εισάγει κάποιου είδους βεβαιότητα πως το παιδί που θα ανοίξει την πόρτα είναι κορίτσι!? με άλλα λόγια μήπως αναφέται καλύτερα στην πιθανότητα πριν το άνοιγμα της πόρτας.

    στην δευτερη περίπτωση το P(B|A) διαβάζεται ως

    "ποια είναι η πιθανότητα ο Μπάπης να έχει 2 κορίτσια, υπο την προυπόθεση πως τουλάχιστον ένα είναι κορίτσι" δηλαδη εδώ έχουμε την σιγουρια πως το ένα είναι κορίτσι, και ισοδύναμει με το να ανοίξει το κορίτσι την πόρτα

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Στέλιο, η πιθανότητα P(B|A) που όρισα υπολογίζεται αφού ανοίξει η πόρτα, αφού μόνο τότε είμαστε σίγουροι ότι την άνοιξε κορίτσι.
      Κατά τη γνώμη μου το Α1 = "Ανοίγει ένα κορίτσι" και το Α2 = "Τουλάχιστον το ένα παιδί του είναι κορίτσι" δεν είναι ισοδύναμα, αφού χωρίς καμιά άλλη πληροφορία έχουμε ότι P(A1)=1/2 αλλά P(A2)=3/4.

      Διαγραφή
  14. Τέσσερα συρτάρια έχουν μέσα από δυο κέρματα.
    Το πρώτο έχει δυο μονόευρα.
    Το δεύτερο και το τρίτο εχουν από ένα μονόευρο και από ένα δίευρο.
    Το τέταρτο έχει δυο δίευρα.

    Λέμε σε κάποιον να βάλλει το χέρι μέσα σ' ενα συρτάρι και χωρίς να βλέπει να πάρει ένα κέρμα.
    Αυτός παίρνει ένα μονόευρο.
    Ποια είναι η πιθανότητα να πήρε το νόμισμα από το κάθε συρτάρι;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Αγαπητέ κύριε Κωτσιόπουλε, έτσι όπως διατυπώνετε το ερώτημα, θα συμφωνήσω μαζί σας ότι η απάντηση είναι 1/2 για το πρώτο συρτάρι και από 1/4 για το δεύτερο και το τρίτο.
      Ομως το πρόβλημα που συζητάμε εδώ δεν διατυπώνεται ακριβώς έτσι. Θα έλεγα ότι η αντίστοιχη με το δικό σας διατύπωση θα ήταν:
      Τέσσερα συρτάρια έχουν μέσα από δυο κέρματα.
      Το πρώτο έχει δυο μονόευρα.
      Το δεύτερο και το τρίτο εχουν από ένα μονόευρο και από ένα δίευρο.
      Το τέταρτο έχει δυο δίευρα.
      Σας δείχνουν ένα συρτάρι και σας λένε ότι ένα τουλάχιστον από τα κέρματα αυτού του συρταριού είναι μονόευρο. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι το κάθε συρτάρι;
      Θεωρώ ότι με τη διατύπωση αυτή, η πιθανότητα είναι 1/3 για κάθε ένα από τα συρτάρια 1,2 και 3

      Διαγραφή
    2. Αυτό που λέτε προϋποθέτει πως κάποιος ξέρει, την πόρτα όμως την άνοιξε παιδί στην τύχη και ήταν κορίτσι.
      Η διαφορά φαίνεται σ΄ αυτό το πρόβλημα:

      Ένας τηλεοπτικός σταθμός παρουσιάζει το εξής τηλεπαιχνίδι. Έχει 3 κουρτίνες όπου πίσω από μία από αυτές, υπάρχει 1 αυτοκίνητο. Ο παίχτης επιλέγει και δεσμεύει μία από τις 3 κουρτίνες. Ο παρουσιαστής του παιχνιδιού (ο οποίος γνωρίζει που βρίσκεται το αυτοκίνητο) υποχρεούται να ανοίξει μία κενή από τις άλλες 2. (Πάντα θα υπάρχει μία τουλάχιστον κενή στις άλλες 2). Ο παίχτης τότε, έχει τη δυνατότητα να κρατήσει τη δική του ή να αλλάξει.
      Ένας άλλος τηλεοπτικός σταθμός, παρουσιάζει το εξής τηλεπαιχνίδι. Έχει 3 κουρτίνες όπου πίσω από μία από αυτές, υπάρχει 1 αυτοκίνητο. Ο παίχτης επιλέγει και δεσμεύει μία από τις 3 κουρτίνες. Ο παρουσιαστής του παιχνιδιού τότε, ζητάει από κάποιον από το κοινό (ο οποίος δε γνωρίζει πού βρίσκεται το αυτοκίνητο) να κάνει delete μία από τις άλλες 2 στην τύχη. Η κουρτίνα αυτή ανοίγει και αν είχε μέσα το αυτοκίνητο, το παιχνίδι ξαναρχίζει από την αρχή (ξαναδιαλέγει ο παίχτης μία από τις 3) και επαναλαμβάνεται μέχρις ότου η κουρτίνα που γίνεται delete από τον άνθρωπο του κοινού, να μην έχει το αυτοκίνητο. Ο παίχτης τότε, έχει τη δυνατότητα να κρατήσει τη δική του ή να αλλάξει.

      Έχετε τη δυνατότητα να συμμετάσχετε σε ένα από τα δύο τηλεπαιχνίδια. Ποιο θα προτιμούσατε?

      Διαγραφή
    3. Tάκη, είναι πολύ ενδιαφέρουσα η ερώτησή σου και δίνω την άποψή μου (δεν τολμώ να την αποκαλέσω "λύση"..)
      Θα προτιμούσα το 1ο τηλεπαιχνίδι ,αυτό στο οποίο ο παρουσιαστής "ξέρει" .
      Στο 1ο. παιχνίδι η πιθανότητες νίκης μου θα διπλασιάζονται πάντα (κατά μέσο όρο) αν αλλάζω την αρχική μου επιλογή.
      Υπάρχουν 3 περιπτώσεις,όλες ισοπίθανες (1/3) με βάση την αρχική μου επιλογή:
      Α. Είχα αρχικά επιλέξει μια κενή ,έστω την Κ1.Ο παρουσιαστής ανοίγει υποχρεωτικά την Κ2
      Β. Ειχα επιλέξει την Κ2. Ανοίγει υποχρεωτικά η Κ1
      Γ. Είχα επιλέξει το αυτοκίνητο. Ο παρουσιαστής ανοίγει οποιαδήποτε (ας πούμε με κορ-γράμματα) από τις Κ1 και Κ2.
      Αν επιλέξω να αλλάξω κουρτίνα,κερδίζω στις 2 πρώτες περιπτώσεις Α. και Β. και χάνω στη Γ.
      Αν δεν αλλάξω κερδίζω μόνο στη Γ. (αν είχα αρχικά επιλέξει το αυτοκίνητο)
      Άρα μια "πολιτική αλλαγής" κερδίζει κατά μέσο όρο 2 φορές στις 3.
      Αυτό είναι και το "παράδοξο" Μόντυ Χωλ που ήξερα ,που δεν είναι και πολύ παράδοξο, όσο κι αν φαίνεται κομμάτι μεταφυσικό πως η αρχική (ΧΩΡΙΣ ΚΑΜΙΑ πληροφορία έξτρα) πιθανότητα 1/3 για νίκη μπορεί μαγικά να αλλάζει με την "ουδέτερη" παρέμβαση του παρουσιαστή (που ΔΕΝ ορίζει την κατανομή των κουρτίνων).
      Η ενδιαφέρουσα παραλλαγή 2, ουσιαστικά διαφοροποιεί το παιχνίδι μόνο στο γεγονός της ενσυνείδητης επιλογής της άδειας κουρτίνας. Ο παρουσιαστής τώρα δεν ξέρει,αλλά ανοίγει την άδεια κουρτίνα από τύχη ΚΑΙ εγώ ξέρω πως δεν ξέρει (σημαντικό!).
      Σ'αυτήν την περίπτωση η πιθανότητα να είχα επιλέξει αρχικά το αυτοκλίνητο αυτόματα μεταβάλλεται και ανεβαίνει από 1/3 που ήταν στο 1ο παιχνίδι, σε 1/2. Άρα το αν αλλάξω ή όχι δεν παίζει ρόλο .Έχω 1 στις δύο πάντα.
      Ένας πολύ ενδιαφέρον προβληματισμός προκύπτει από ένα πρόσθετο ερώτημα: Tι γίνεται αν ΔΕΝ ξέρω ΑΝ ο παρουσιαστής ξέρει ή όχι; Ας πούμε μου δένουν τα μάτια, δεν ξέρω την ακριβή διαδικασία που ακολουθήθηκε και απλώς βλέπω την τελικά αδειανή κουρτίνα.
      Θεωρώ πως αφού τα όρια της πιθανότητας να έχω επιλέξει αρχικά το αυτοκίνητο είναι
      1/3 < p(αυτοκίνητο)<1/2, και πάλι προφανώς συμφέρει να αλλάζω κουρτίνα, αφού το "κυμαινόμενο" είναι στάνταρ μεγαλύτερο από το μίνιμουμ 1/2.

      Διαγραφή
    4. Εννοούσα στο τέλος αποπάνω,πως αν αλλάζω στην περίπτωση που δεν ξέρω αν ξέρει, η μέση πιθανότητα νίκης κυμαίνεται μεταξύ 1/2 και 2/3.

      Διαγραφή
    5. Έχετε απόλυτο δίκιο σε όλα.

      Εάν είχα τη δυνατότητα να ρωτήσω, θα ρώταγα τον παρουσιαστή:
      1) Όταν ανοίξατε την κουρτίνα, υπήρχε περίπτωση να ανοίξετε την κουρτίνα που είχε το αυτοκίνητο; Η πιθανότητα της κουρτίνας μου αυξάνει μόνον όταν κατά το άνοιγμα μπορούσε να εμφανιστεί αυτοκίνητο. Η πιθανότητα αυτή μοιράζεται στις άλλες κουρτίνες.

      2) Θα μπορούσαν να παίζουν ταυτόχρονα 2 παίχτες;
      Για να μπορεί ο παρουσιαστής να ανοίγει πάντα κενή, πρέπει να έχει 2 διαθέσιμες, οπότε δεν μπορούν να παίξουν 2 παίχτες ταυτόχρονα.

      ΥΓ. Εάν δεν έχω τη δυνατότητα να αλλάξω κουρτίνα, με συμφέρει να παίξω στο δεύτερο παιχνίδι γιατί έχω 50% πιθανότητα από την αρχή, και αυτό γιατί εάν ο παρουσιαστής ανοίξει κουρτίνα με αυτοκίνητο ξαναπαίζω (1/3 + 1/(3*3) + 1/(3*3*3) +...=1/2)







      Διαγραφή
  15. Εκτός από το πολύ ωραίο Μόντυ Χωλ (Monty Hall problem) που είναι αυτό που παρουσίασε από πάνω ο Τάκης ,προτείνω για αναστοχασμό και την εξής παραλλαγή (κι ας βγάλει ο καθένας τα συμπεράσματά του ως προς το βαθμό σχετικότητας):
    Δίνω πριν πάω στο σπίτι του μια κάρτα λευκη και στις δύο πλευρές και λέω στον Μπάμπη: "Γράψε μου ρε συ Μπάμπη τα ονόματα τψν παιδιών σου ,γιατί έχω ένα φίλο συγγραφέα και θέλω να τους χαρίσω από ένα παιδικό βιβλίο με αφιέρωση!"
    Ο Μπάμπης τα γράφει και σάς δίνει την κάρτα πίσω,αλλά αυτή γλυστράει από το χέρι του και πέφτει στο πάτωμα. Βλέπουμε το όνομα "Ελένη". Ποια η πιθανότητα στην κάτω όψη να γράφει ένα γυναικείο όνομα ;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Γιώργο, στην παραλλαγή που αναφέρεις πρέπει να λάβουμε υπόψιν μας ότι είναι δύο φορές πιθανότερο να γράψει ο Μπάμπης ένα αντρικό και ένα γυναικείο όνομα, παρά να γράψει δύο γυναικεία ή δύο αντρικά. Έτσι με πιθανότητα 1/4 θα γράψει ΑΑ, με πιθανότητα 1/4 θα γράψει ΚΚ και με πιθανότητα 1/2 θα γράψει ΑΚ.
      Τα ενδεχόμενα τώρα είναι:
      Α = Αποκαλύπτεται ένα Κ
      Β = Και οι δύο πλευρές έχουν Κ

      Είναι P(A και B) = P(B)
      Σύμφωνα με τις βαρύτητες που έγραψα πιο πάνω, έχουμε P(A) = (1/4)*1 + (1/2)*(1/2) = 2/4.

      Οπότε P(B|A) = P(A και B) / P(A) = P(B) / P(A) = (1/4) / (2/4) = 1/2

      Θα πρέπει να διακρίνουμε αυτό το πρόβλημα από ένα παρόμοιο όπου τα ενδεχόμενα ΑΑ, ΑΚ, ΚΚ είναι και τα τρία ισοπίθανα. Τη λύση αυτού του προβλήματος τη δίνω εδώ: http://pantsik.blogspot.gr/2009/10/blog-post_3246.html
      Ένας πιο αυστηρός υπολογισμός, με τα ίδια ενδεχόμενα Α,Β όπως πιο πάνω, είναι να γράψουμε πως P(B) = 1/3 και P(A) = (1/3)*1 + (1/3)*(1/2) = 1/2.
      Οπότε P(B|A) = P(B) / P(A) = (1/3) / (1/2) = 2/3.

      Διαγραφή
  16. Ακριβώς Πάνο. To θέμα των "τριών καρτών" (που υπάρχει αναλυμένο και στο άρθρο για το Bertrand's box paradox στη Wiki) έχει ξεκάθαρη απάντηση 2/3. Αλλά η διάκριση που λες ό,τι πρέπει να γίνει είναι όλο το ζουμί και όλη η ουσία της συζήτησης/αντιπαράθεσης και ο λόγος που ποστάρισα και το θέμα, καθώς θεωρώ πως καταδεικνύει με σαφήνεια την αμφισημία τέτοιων θεμάτων ,φαινομενικά και απατηλά απλών.
    ΓΙΑΤΙ πρέπει -ντε και καλά- να αποδώσουμε την "μέση" στατιστική πιθανοτική κατανομή (τη διωνυμική δηλαδή) στην ενέργεια του Μπάμπη; O Μπάμπης δεν έριξε κάποιο νόμισμα για να γράψει τα ονόματα των παιδιών του. Απλώς τα κατέγραψε! Θα μπορούσε ας πούμε να του έχουμε ζητήσει και τις ηλικίες ,οπότε τι θα έγραφε; Θα έγραφε στη μια πλευρά και μετά στην άλλη (που είναι ίδιες!): Κώστας 8-Γιάννης 7 ή Ελένη 8-Μαρία 7, ή Κώστας 8- Ελένη 7. Στο κάτω κάτω της γραφής ΠΡΩΤΑ έκανε ένα παιδί με συγκεκριμένο όνομα και ΜΕΤΑ έκανε το δεύτερο με ένα άλλο όνομα.
    Εν κατακλείδι, για να μην κουράζω και τους αναγνώστες ανακυκλώνοντας το ίδιο επιχείρημα συνεχώς, να συνοψίσω πως ασφαλώς όταν έχουμε ΔΕΔΟΜΕΝΗ τη στατιστική κατανομή από την οποία προκύπτει ένας δειγματικός χώρος δεν τίθεται θέμα για την αντιμετώπισή μας, αλλά σε προβλήματα τέτοια "κοινωνικού τύπου" ας τα πούμε, ο τρόπος απόκτησης της όποιας πληροφορίας μπορεί να δώσει στεκούμενες αντικρουόμενες ενίοτε λύσεις,χωρίς αυτό όμως να συνιστά ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ παράδοξο ή λάθος.Υπ'αυτή την έννοια υποστήριξα σε αυτή τη συζήτηση το 2/3. Ουσιαστικά δηλαδή θεωρώ πως το πρόβλημα δικαιούμαι να το αντιμετωπίσω με βάση την αξιωνατική θεώρηση της Πιθανότητας του Κολμογκόροφ και ΤΙΠΟΤΕ έξτρα-περιττό. Το πώς θα αντιμετωπιστεί ένα τέτοιο θέμα στην ΠΡΑΞΗ ,είναι άλλο καπέλο ,στο οποίο εμπλέκονται σίγουρα και μη αυστηρώς μαθηματικές παράμετροι.
    Ελπίζω τουλάχιστον όμως πως έγινε σαφές πως δεν "ξέχασα" το κορώνα-γράμματα και τη διωνυμική κατανομή των γεννήσεων για μεγάλους ΜΕΣΟΥΣ πλυθυσμούς. :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Πολύ σωστό αυτό με τα ονόματα και τις ηλικίες.
      Εάν το έγραφε έτσι θα έγραφε τέσσερις κάρτες οι οποίες θα είχαν οκτώ όψεις:
      1. A1- A2
      2. A2 - A1
      3. A1- K2
      4. K2 - A1
      5. K1 - A2
      6. A2 - K1
      7. K1 - K2
      8. K2 - K1

      Η πρώτη στήλη είναι η μια πλευρά της κάρτας που τυχαία αποκαλύφτηκε.
      Υπάρχουν 4 Κ στην πρώτη στήλη. (4, 5, 7, 8). Στην δεύτερη στήλη πίσω από τα 4 Κ υπάρχουν 2 Α (4,5) και 2 Κ(7,8), επομένως Κ πίσω από Κ που αποκαλύφτηκε τυχαία 50%


      Διαγραφή
    2. Πολύ σωστά και ακριβώς αυτό εννοούσα κι εγώ αποπάνω Τάκη. Πως με δεδομένη τη μέση στατιστική κατανομή που αποδίδει ίση πιθανότητα στα 8 ενδεχόμενα βγαίνει 1/2 ή 1/3 με τη θεώρηση των ισοδύναμων διωνυμικών διατάξεων. AN όμως ο Μπάμπης γράψει (λογικά) μία κάρτα, τίθεται ένα θέμα με ΠΟΙΑ λογική ("πιθανοτική κατανομη" το έκανε) Έγραψε ας πούμε πρώτα το μεγάλο και μετά το μικρό παιδί (όπως φαινεται πολύ φυσιολογικό.Τουλάχιστον εγώ έτσι τα θυμάμαι και συνήθως τα καταγράφω σε έγγραφα π.χ ως "διατάξεις" τα παιδιά μου). ΤΟΤΕ είμαστε στο πρόβλημα του "μια κάρτα είναι άσπρη-άσπσρη, μαυρη-μαύτη, ή άσπρη-μάυρη" και η απάντηση είναι 2/3. Όλα είναι θέμα παραδοχών (αξιωμάτων) . Με flat κατανομή ,αλλάζει η απάντηση.

      Διαγραφή
    3. Δηλαδή, για να βάλω ένα τελευταίο νοητικό πείραμα, αν μάς βάλει κάποιος ένα πιστόλι στον κρόταφο και πει. Απάντησε αν το όνομα στην κάτω μεριά είναι κορίτσι ή αγόρι! TI θα κάνουμε; Εγώ ισχυρίζομαι πως το ΠΙΘΑΝΟΤΕΡΟ είναι ο Μπάμπης να έχει ακολουθήσει τη "λογική καταγραφής χρώματος άσπρο-μαύρο" ,με ξεκάθαρη απάντηση 2/3,και έτσι θα απαντήσω "Κορίτσι".

      Διαγραφή
  17. Μιας και η συζήτηση επί της ουσίας έχει νομίζω τελειώσει, χωρίς η flat λύση / ετυμηγορία του Γιώργου να κερδίσει περισσότερους οπαδούς από όσους είχε στην αρχή (ως η πιο εύλογη τουλάχιστον από όσες παρουσιάστηκαν εδώ), επιτρέψτε μου ένα τελευταίο, ιλαρό σχόλιο:
    Έκανα το νοητικό πείραμα που πρότεινε ο Γιώργος και ομολογώ ότι έχει δίκιο: με το πιστόλι στον κρόταφο, θα απαντούσα αυτό ακριβώς που θέλει εκείνος. Αν μου το ζητούσε μάλιστα, θα ήμουν έτοιμος να συμφωνήσω και σε πιθανότητα 3/3 ή και ακόμα περισσότερο!:-).

    ΑπάντησηΔιαγραφή