Τρίτη 18 Νοεμβρίου 2014

Το Σμαράγδι

Στο σημερινό πρόβλημα έκανα μια τροποποίηση, σε σχέση με το αρχικό πρόβλημα, λόγω του ότι τα ποσά των χρυσών νομισμάτων των δύο εμπόρων ήταν δεκαδικοί αριθμοί. 
--------
∆ύο έμποροι, ο Κ. Γεωργίου και ο Γ. Δημητρίου, διεκδικούν να αγοράσουν ένα σμαράγδι, του οποίου η αξία ανέρχεται στις 10.000 χρυσά νομίσματα.
Ο Κ. Γεωργίου λέει στον Γ. Δημητρίου: 
-«∆άνεισε μου το 1/5 των χρημάτων σου για να μπορέσω να αγοράσω το σμαράγδι.»
Ο Γ. Δημητρίου του απαντά: 
-«Όχι, δάνεισε μου εσύ το 1/3 των χρημάτων σου, ώστε να μπορέσω να αγοράσω το σμαράγδι και θα μου περισσέψουν και δύο χρυσά νομίσματα.» 
Πόσα χρήματα είχε ο κάθε έμπορος; 
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/05/blog-post_6144.html
Λύση: 
Ο Κ. Γεωργίου είχε 8.571 χρυσά νομίσματα και ο Γ. Δημητρίου είχε 7.145 χρυσά νομίσματα.  Έστω «X» τα χρυσά νομίσματα του Κ. Γεωργίου και «Z» τα χρυσά νομίσματα του Γ. Δημητρίου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
X+Z/5 =10.000 (1)
Z+X/3=10.002 (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
X+Z/5=10.000 ---> 5Χ+Ζ=50.000 ---> Ζ=50.000-5Χ (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
Z+X/3=10.002 ---> 50.000-5Χ+Χ/3=10.002 ---> 3*50.000-3*5Χ+Χ=3*10.002 --->
150.000-15Χ+Χ=30.006 ---> 14Χ=150.000-30.006 ---> 14Χ=119.994 ---> Χ=119.994/14 --->  
Χ=8.571 (4)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε:
Ζ=50.000-5Χ ---> Ζ=50.000-5*8.571 ---> Ζ=50.000-42.855 ---> Ζ=7.145 (5)
Επαλήθευση:
X+Z/5 =10.000 ---> 8.571+7.145/5=10.000 ---> 8.571+7.145/5=10.000 --->
8.571+1.429=10.000 Z+X/3=10.002 ---> 7.145+8.571/3=10.002 ---> 7.145+2.857=10.002   ο.ε.δ.

8 σχόλια:

  1. Καλησπέρα Κάρλο

    Η άσκηση είναι απλή και με ένα απλό σύστημα έχουμε :
    Ο κ. Γ έχει $8571$ , ο κ. Δ έχει: $7145$
    Θα ήταν πάντως όμορφο να βλέπαμε μια στοιχειώδη ( Επιπέδου δημοτικού) λύση.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Νίκο καλησπέρα.
      Η απάντηση σου είναι σωστή!! Αναρτώ τη πηγή για να δεις τη διαφορά.

      Διαγραφή
  2. Κάρλο, άρρητοι (;) αριθμοί; :-)
    Eννοείς "μή ακέραιοι" φαντάζομαι.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Έχουμε λοιπόν τους Κ. Γεωργίου ( έστω Γ) και Γ. Δημητρίου ( έστω Δ) που προτίθενται ν αγοράσουν το σμαράγδι των 10000 χρυσών νομισμάτων ($X.N.$).
    1) Αν ο Γ είχε πενταπλάσια χρήματα και τα χρήματα του Δ θα αγόραζε $5$ όμοια σμαράγδια.
    2) Αν ο Δ είχε τριπλάσια χρήματα και τα χρήματα του Δ θα αγόραζε $3$ όμοια σμαράγδια και θα του περίσσευαν $2 \cdot 3 = 6\,X.N.$
    3) Έτσι αν ο Δ είχε πέντε φορές το προηγούμενο ποσό , δηλαδή τα δεκαπενταπλάσια χρήματα και πέντε φορές τα χρήματα του Γ θα αγόραζε $15$ όμοια σμαράγδια και θα του περίσσευαν $5 \cdot 6 = 30\,X.N.$ .

    Κοιτάζοντας τώρα την πρώτη περίπτωση βλέπουμε ότι ο Δ τότε είχε παραπάνω από τον Γ $14$ φορές πιο πολλά από τα αρχικά του χρήματα και $30X.N.$ θα μπορούσε δε ν’ αγοράσει παραπάνω $15 - 5 = 10$όμοια σμαράγδια αξίας $10 \cdot 10000 = 100000\,X.N.$
    Επειδή $\dfrac{{100000 + 30}}{{14}} = \dfrac{{100030}}{{14}} = 7145$ , ο Δ έχει $7145X.N.$ και προφανώς ο Γ έχει $10000 - \dfrac{{7145}}{5} = 8571X.N.$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Πολύ ωραία διατύπωση της λύσης σ' επίπεδο δημοτικού.
      Μπράβο σου!!

      Διαγραφή
  4. Ωραία σκέψη Νίκο!

    Και μία παραλλαγή...
    Αν $G$ το ποσό του Γεωργγίου και $D$ του Δημητρίου τότε
    $G+\dfrac{1}{5}D=10000 \Rightarrow $ $15G+3D=150000 (*)$
    και $\dfrac{1}{3} G+D=10002 \Rightarrow G+3D=30006 (**)$
    Aφαιρώ κατά μέλη $(*)-(**)$ και έχω
    $14G=150000-30006=119994 \Rightarrow G=8571$
    και $D=10002-\dfrac{1}{3}8571=7145$

    Για την “αντιγραφή-παραλλαγή”
    Ευθύμης Αλεξίου

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Καλημέρα Ευθύμη.
    Ακριβώς όπως τα λες . Πρόκειται για την μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών για τη λύση γραμμικού συστήματος .

    Νίκος

    ΑπάντησηΔιαγραφή