Τρίτη, 18 Νοεμβρίου 2014

Το Σμαράγδι

Στο σημερινό πρόβλημα έκανα μια τροποποίηση, σε σχέση με το αρχικό πρόβλημα, λόγω του ότι τα ποσά των χρυσών νομισμάτων των δύο εμπόρων ήταν δεκαδικοί αριθμοί. 
--------
∆ύο έμποροι, ο Κ. Γεωργίου και ο Γ. Δημητρίου, διεκδικούν να αγοράσουν ένα σμαράγδι, του οποίου η αξία ανέρχεται στις 10.000 χρυσά νομίσματα.
Ο Κ. Γεωργίου λέει στον Γ. Δημητρίου: 
-«∆άνεισε μου το 1/5 των χρημάτων σου για να μπορέσω να αγοράσω το σμαράγδι.»
Ο Γ. Δημητρίου του απαντά: 
-«Όχι, δάνεισε μου εσύ το 1/3 των χρημάτων σου, ώστε να μπορέσω να αγοράσω το σμαράγδι και θα μου περισσέψουν και δύο χρυσά νομίσματα.» 
Πόσα χρήματα είχε ο κάθε έμπορος; 
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/05/blog-post_6144.html
Λύση: 
Ο Κ. Γεωργίου είχε 8.571 χρυσά νομίσματα και ο Γ. Δημητρίου είχε 7.145 χρυσά νομίσματα.  Έστω «X» τα χρυσά νομίσματα του Κ. Γεωργίου και «Z» τα χρυσά νομίσματα του Γ. Δημητρίου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
X+Z/5 =10.000 (1)
Z+X/3=10.002 (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
X+Z/5=10.000 ---> 5Χ+Ζ=50.000 ---> Ζ=50.000-5Χ (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
Z+X/3=10.002 ---> 50.000-5Χ+Χ/3=10.002 ---> 3*50.000-3*5Χ+Χ=3*10.002 --->
150.000-15Χ+Χ=30.006 ---> 14Χ=150.000-30.006 ---> 14Χ=119.994 ---> Χ=119.994/14 --->  
Χ=8.571 (4)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε:
Ζ=50.000-5Χ ---> Ζ=50.000-5*8.571 ---> Ζ=50.000-42.855 ---> Ζ=7.145 (5)
Επαλήθευση:
X+Z/5 =10.000 ---> 8.571+7.145/5=10.000 ---> 8.571+7.145/5=10.000 --->
8.571+1.429=10.000 Z+X/3=10.002 ---> 7.145+8.571/3=10.002 ---> 7.145+2.857=10.002   ο.ε.δ.

8 σχόλια:

  1. Καλησπέρα Κάρλο

    Η άσκηση είναι απλή και με ένα απλό σύστημα έχουμε :
    Ο κ. Γ έχει $8571$ , ο κ. Δ έχει: $7145$
    Θα ήταν πάντως όμορφο να βλέπαμε μια στοιχειώδη ( Επιπέδου δημοτικού) λύση.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Νίκο καλησπέρα.
      Η απάντηση σου είναι σωστή!! Αναρτώ τη πηγή για να δεις τη διαφορά.

      Διαγραφή
  2. Κάρλο, άρρητοι (;) αριθμοί; :-)
    Eννοείς "μή ακέραιοι" φαντάζομαι.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Έχουμε λοιπόν τους Κ. Γεωργίου ( έστω Γ) και Γ. Δημητρίου ( έστω Δ) που προτίθενται ν αγοράσουν το σμαράγδι των 10000 χρυσών νομισμάτων ($X.N.$).
    1) Αν ο Γ είχε πενταπλάσια χρήματα και τα χρήματα του Δ θα αγόραζε $5$ όμοια σμαράγδια.
    2) Αν ο Δ είχε τριπλάσια χρήματα και τα χρήματα του Δ θα αγόραζε $3$ όμοια σμαράγδια και θα του περίσσευαν $2 \cdot 3 = 6\,X.N.$
    3) Έτσι αν ο Δ είχε πέντε φορές το προηγούμενο ποσό , δηλαδή τα δεκαπενταπλάσια χρήματα και πέντε φορές τα χρήματα του Γ θα αγόραζε $15$ όμοια σμαράγδια και θα του περίσσευαν $5 \cdot 6 = 30\,X.N.$ .

    Κοιτάζοντας τώρα την πρώτη περίπτωση βλέπουμε ότι ο Δ τότε είχε παραπάνω από τον Γ $14$ φορές πιο πολλά από τα αρχικά του χρήματα και $30X.N.$ θα μπορούσε δε ν’ αγοράσει παραπάνω $15 - 5 = 10$όμοια σμαράγδια αξίας $10 \cdot 10000 = 100000\,X.N.$
    Επειδή $\dfrac{{100000 + 30}}{{14}} = \dfrac{{100030}}{{14}} = 7145$ , ο Δ έχει $7145X.N.$ και προφανώς ο Γ έχει $10000 - \dfrac{{7145}}{5} = 8571X.N.$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Πολύ ωραία διατύπωση της λύσης σ' επίπεδο δημοτικού.
      Μπράβο σου!!

      Διαγραφή
  4. Ωραία σκέψη Νίκο!

    Και μία παραλλαγή...
    Αν $G$ το ποσό του Γεωργγίου και $D$ του Δημητρίου τότε
    $G+\dfrac{1}{5}D=10000 \Rightarrow $ $15G+3D=150000 (*)$
    και $\dfrac{1}{3} G+D=10002 \Rightarrow G+3D=30006 (**)$
    Aφαιρώ κατά μέλη $(*)-(**)$ και έχω
    $14G=150000-30006=119994 \Rightarrow G=8571$
    και $D=10002-\dfrac{1}{3}8571=7145$

    Για την “αντιγραφή-παραλλαγή”
    Ευθύμης Αλεξίου

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Καλημέρα Ευθύμη.
    Ακριβώς όπως τα λες . Πρόκειται για την μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών για τη λύση γραμμικού συστήματος .

    Νίκος

    ΑπάντησηΔιαγραφή