Τρίτη, 7 Οκτωβρίου 2014

Eλάχιστη γωνία

Έστω $Μ$ το μέσο της πλευράς $ΒΓ$ του τριγώνου $ΑΒΓ$ και $Ρ$ το σημείο τομής των διχοτόμων του. Δίνεται ότι $ΜΡ = ΡΑ$. Να βρεθεί η ελάχιστη δυνατή τιμή της γωνίας $ΜΡΑ$.

4 σχόλια:

  1. Eνδιαφέρον θέμα! Για να ισχύει το ΜΡ=ΡΑ βρίσκω πως πρέπει να ισχύει ΒΓ=2ΑΒ. Με διανυσματική ανάλυση (τριγωνικές ανισότητες στις νόρμες) και λίγο διαφορικό λογισμό και τριγωνομετρία βρίσκω ΜΡΑ μινιμουμ= 5π/6 . Κάποιος που τα καταφέρνει καλύτερα στη Ευκλείδεια γεωμετρία ,ελπίζω να με επιβεβαιώσει.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. $MP=PA \Rightarrow AB=BM= \dfrac{BC}{2} \Rightarrow BC=2AB $ ή $BC=2AC$ (ίδια περίπτωση). Τετράπλευρο $APMC$ εγγράψιμο (γωνία $APM =2 \dfrac{A \widehat{P}M }{2}=2( \dfrac{ \widehat{A} }{2}+ \dfrac{ \widehat{B} }{2})= \widehat{A} + \widehat{B}=180°- \widehat{C} $
    Γωνία $APM$ ελάχιστη όταν γωνία $ACB$ μέγιστη.
    Γωνία $ACB$ γίνεται μέγιστη όταν $CA$ εφαπτομένη του κύκλου $(B,BA)$, τουτέστιν το τρίγωνο $BAC$ ορθογώνιο,άρα γωνία $ACB=30°$ ($BC=2AB$), άρα ελάχιστη τιμή γωνίας $APM=150°= \dfrac{5 \pi }{6}$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Υ.Γ κύριε Ρωμανίδη κάτι πρέπει να γίνει έτσι ώστε να μπορούμε να επεμβαίνουμε στην ανάρτηση μας για μικροδιορθώσεις, αν είναι εύκολο βέβαια.

      Διαγραφή
    2. Δεν υπάρχει, από όσο ξέρω, αυτή η δυνατότητα στο blogspot, κ. Αλεξίου ...

      Διαγραφή