Τρίτη 7 Οκτωβρίου 2014

Eλάχιστη γωνία

Έστω $Μ$ το μέσο της πλευράς $ΒΓ$ του τριγώνου $ΑΒΓ$ και $Ρ$ το σημείο τομής των διχοτόμων του. Δίνεται ότι $ΜΡ = ΡΑ$. Να βρεθεί η ελάχιστη δυνατή τιμή της γωνίας $ΜΡΑ$.
Αναρτήθηκε από στις 7.10.14
Ετικέτες

4 σχόλια:

  1. RIZOPOULOS GEORGIOS8 Οκτωβρίου 2014 στις 12:48 π.μ.

    Eνδιαφέρον θέμα! Για να ισχύει το ΜΡ=ΡΑ βρίσκω πως πρέπει να ισχύει ΒΓ=2ΑΒ. Με διανυσματική ανάλυση (τριγωνικές ανισότητες στις νόρμες) και λίγο διαφορικό λογισμό και τριγωνομετρία βρίσκω ΜΡΑ μινιμουμ= 5π/6 . Κάποιος που τα καταφέρνει καλύτερα στη Ευκλείδεια γεωμετρία ,ελπίζω να με επιβεβαιώσει.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ8 Οκτωβρίου 2014 στις 9:48 π.μ.

    $MP=PA \Rightarrow AB=BM= \dfrac{BC}{2} \Rightarrow BC=2AB $ ή $BC=2AC$ (ίδια περίπτωση). Τετράπλευρο $APMC$ εγγράψιμο (γωνία $APM =2 \dfrac{A \widehat{P}M }{2}=2( \dfrac{ \widehat{A} }{2}+ \dfrac{ \widehat{B} }{2})= \widehat{A} + \widehat{B}=180°- \widehat{C} $
    Γωνία $APM$ ελάχιστη όταν γωνία $ACB$ μέγιστη.
    Γωνία $ACB$ γίνεται μέγιστη όταν $CA$ εφαπτομένη του κύκλου $(B,BA)$, τουτέστιν το τρίγωνο $BAC$ ορθογώνιο,άρα γωνία $ACB=30°$ ($BC=2AB$), άρα ελάχιστη τιμή γωνίας $APM=150°= \dfrac{5 \pi }{6}$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ8 Οκτωβρίου 2014 στις 9:53 π.μ.

      Υ.Γ κύριε Ρωμανίδη κάτι πρέπει να γίνει έτσι ώστε να μπορούμε να επεμβαίνουμε στην ανάρτηση μας για μικροδιορθώσεις, αν είναι εύκολο βέβαια.

      Διαγραφή
    2. Σωκράτης Δ. Ρωμανίδης8 Οκτωβρίου 2014 στις 4:35 μ.μ.

      Δεν υπάρχει, από όσο ξέρω, αυτή η δυνατότητα στο blogspot, κ. Αλεξίου ...

      Διαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)