Κυριακή, 19 Οκτωβρίου 2014

Γεννητούρια

$1.$ Ένα νιόπαντρο ζευγάρι σκοπεύει ν' αποκτήσει $4$ παιδιά. Τι είναι πιθανότερο; Να αποκτήσει $2$ παιδιά από κάθε φύλο ή $3$ παιδιά του ίδιου φύλου;
$2.$ Σε μια μακρινή χώρα,ο δικτάτωρ Ηλιθιάχθος αποφασίζει να ελέγξει τις γεννήσεις και να εξισορροπήσει τον αριθμό αγοριών και κοριτσιών.
Ο στατιστικολόγος του ,που έχει διαπιστώσει πως τα αγόρια είναι περισσότερα από τα κορίτσια, τού προτείνει ένα απλό μέτρο. Στο εξής, κάθε ζευγάρι που θα γεννά ένα αγόρι θα απαγορεύεται να κάνει άλλο παιδί. Έτσι ο αριθμός των κοριτσιών μακροπρόθεσμα θα αυξηθεί.(αφού ας πούμε, θα υπάρχουν οικογένειες με δύο κορίτσια,αλλά όχι με δύο αγόρια). Συμφωνείτε με την πρότασή του; (ως προς την αποτελεσματικότητά της δηλαδή...)
ΣΗΜ. Και στα δύο προβλήματα, υποθέστε πως η πιθανότητα αγοριού ή κοριτσιού σε κάθε γέννα είναι η ίδια.

10 σχόλια:

  1. 1. Νομίζω 3 παιδιά του ίδιου φύλου, γιατί οι δυνατές διατάξεις είναι 2 * 4!/3! = 8 , ενώ για 2 παιδιά από κάθε φύλο είναι 4!/(2!*2!) = 6

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Νομίζω ότι αν δεν είναι 2+2 τα παιδιά, θα υπάρχουν οπωσδήποτε 3 τουλάχιστον παιδιά του ίδιου φύλου. Συνεπώς, το δεύτερο ενδεχόμενο καλύπτεται από 10 περιπτώσεις (2^4-6), που περιλαμβάνουν τις 8 με 3+1 και τις 2 με 4+0.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. 2. Εφόσον η πιθανότητες για αγόρι ή κορίτσι είναι σε κάθε περίπτωση ίσες, είτε είναι αγόρι είτε είναι κορίτσι το πρώτο, το μέτρο δεν είναι κατάλληλο για το σκοπό. Απλά θα αυξηθούν οι οικογένειες που έχουν μόνο αγόρι(α), αλλά η συνολική αναλογία αγοριών / κοριτσιών, στατιστικά, δεν αναμένεται να μεταβληθεί.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. 2, Ο αναμενόμενος αριθμός παιδιών στο 1/2 των οικογενειών που θα κάνουν πρώτα κορίτσι, είναι 1/0,5 = 2, με το ένα να είναι αγόρι. Άρα τα αγόρια θα είναι διπλάσια από τα κορίτσια.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Για το 1. σωστά βεβαία τα σχόλια των φίλων Halb και Papadim.
    Διά του λόγου το αληθές, οι 2^4 =16 δυνατές και ισοπίθανες τετράδες παιδιών που αποτελούν το δειγματικό χώρο,είναι (A=αγόρι. Κ=κορίτσι):
    AAAA
    KAAA
    AKAA
    AAKA
    AAAK
    KKAA
    KAKA
    KAAK
    AKKA
    AKAK
    AAKK
    KKKA
    KKAK
    KAKK
    AKKK
    KKKK
    8 ενδεχόμενα με 3+1 και 6 με 2+2

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Στο θέμα 2. οι δύο αγαπητοί σχολιαστές έχουν εκφράσει δύο διαφορετικές απόψεις. Για να έχει λίγο σασπένς ακόμη και για να εκφραστούν ίσως κι άλλοι φίλοι,θα πω προς το παρόν πως η μία από τις δύο απόψεις ίσως και να προσεγγίζει σωστά το θέμα... :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Εστω ν ο αριθμός των ζευγαριών που θα τεκνοποιήσει πρώτη φορά μετά την εφαρμογή του μέτρου. Από αυτά τα ζευγάρια θα γεννηθούν ν/2 αγόρια και ν/2 κορίτσια (δηλαδή ίσος αριθμός).
    Τα ν/2 ζευγάρια που γέννησαν αγόρι, σταματούν να τεκνοποιούν. Τα άλλα ν/2 ζευγάρια, έχουν τ δικαίωμα να κάνουν και δεύτερο παιδί.
    Εστω κ (<=ν/2), τα ζευγάρια που έχοντας γεννήσει κορίτσι, γεννούν και δεύτερο παιδί. Από τις δεύτερες γέννες, θα προκύψουν κ/2 αγόρια και κ/2 κορίτσια, οπότε ο συνολικός αριθμός αγοριών και κοριτσιών θα είναι (ν+κ)/2 από κάθε φύλο.
    Ομοίως, τα κ/2 ζευγάρια που έκαναν αγόρι στη δεύτερη γέννα, σταματά τη τεκνοποίηση, ενώ για τα υπόλοιπα κ/2 είναι στη διακριτική τους ευχέρεια να συνεχίσουν, αλλά και πάλι όσα συνεχίσουν θα κάνουν μισά αγόρια-μισά κορίτσια.
    Αρα τελικά ο αριθμός αγοριών-κοριτσιών θα είναι μακροπρόθεσμα 50-50.
    Εκ πρώτης όψεως, αυτό μπορεί να φαίνεται παράδοξο, γιατί θα υπάρχουν ζευγάρια που θα έχουν 2,3,και περισσότερα κορίτσια πριν κάνουν αγόρια, αλλά ας μη ξεχνάμε ότι τα μισά ζευγάρια δεν έχουν καθόλου κορίτσια, καθώς κάνουν εξ'αρχής αγόρι.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Πολύ ωραία η εξήγηση, μπράβο. Έπρεπε να κάνω και καμιά προσομοίωση πριν μιλήσω. :-)

      n=10000
      fam <- as.list(c(rep("A",n/2),rep("K",n/2)))


      repeat {
      fam.test <- fam
      fam <- lapply(fam, function(x) {
      if(
      x[length(x)] == "K"
      ){
      (ch <- ifelse(round(runif(1)),"A","K"))
      x <- c(x,ch)
      } else {x}
      })

      if (identical(fam.test,fam)){break}
      }


      res<-unlist(fam)
      length(res[res=="A"])
      length(res[res=="K"])

      Διαγραφή
  8. Για το 2. θα φέρω ένα παράδειγμα. Έστω ότι 12 ζευγάρια, σε αναλογία 1:1, έκαναν από 1 αγόρι τα μισά και από 1 κορίτσι τα άλλα μισά. Επιτρέποντας μόνο στα 6 τελευταία να κάνουν δεύτερο παιδί, αναμένεται να γεννηθούν από τα ζευγάρια αυτά ακόμα 3 αγόρια και 3 κορίτσια. Έτσι θα έχουμε συνολικά:
    6 οικογένειες με 1 αγόρι,
    3 οικογένειες με 1κορίτσι + 1 αγόρι καθεμιά και
    3 οικογένειες με 1κορίτσι + 1 κορίτσι καθεμιά.
    Αγόρια 6+3*1=9
    Κορίτσια 3*1+3*(1+1)=9
    Δεν αλλάζει η αναλογία 1:1

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  9. To θέμα 2. λοιπόν ξεκαθάρισε πλήρως. Ή ακριβέστερα, το ξεκαθάρισαν πλήρως οι εκλεκτοί σχολιαστές και τους ευχαριστώ!
    Οι "απλές" λύσεις λοιπόν δεν είναι ενίοτε και τόσο απλές (και συχνά τα καλοπροαίρετα "φιλάνθρωπα" όνειρα καταλήγουν σε εφιάλτες...)
    Το μόνο που θα πετύχαινε όντως ένα τέτοιο κανονιστικό μέτρο θα ήταν η μείωση του ολικού αριθμού των γεννήσεων και ΟΧΙ η μείωση του αριθμού των αγοριών.

    ΑπάντησηΔιαγραφή