Τετάρτη, 29 Οκτωβρίου 2014

Εμβαδόν = Περίμετρος;

Το ορθογώνιο τρίγωνο Α Β Γ με ακέραια μήκη πλευρών 5, 12, και 13, μονάδων μήκους παρουσιάζει την ιδιομορφία ότι το εμβαδόν του ισούται με την περίμετρο του. 
Πόσα ορθογώνια τρίγωνα με ακέραια μήκη πλευρών με την ίδια ιδιότητα υπάρχουν;
Mathematics Magazine 40(1967), πρόβλημα 644, H. L.Umansky
Λύση:

Αν α, β τα μήκη των καθέτων πλευρών και γ το μήκος της υποτείνουσας του ζητούμενου τριγώνου, θα ισχύει:
Η περίμετρος ισούται με:Π=α+β+γ
Το εμβαδόν ισούται με:Ε=1/2(αβ)
Π=Ε --> α+β+γ=1/2*αβ --> -γ=α+β-1/2*αβ
Υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο κι’ έχουμε:
-γ=α+β-1/2*αβ --> (-γ)2=(α+β-1/2*αβ)2 --> (γ)2=(α+β-1/2*αβ)2
Βάσει του Πυθαγορείου Θεωρήματος έχουμε:
(ΑΓ)2=(ΑΒ)2+(ΑΓ)2 --> γ222
Αντικαθιστούμε το(γ2) με το ίσον του κι’ έχουμε:
(γ)2=(α+β-1/2*αβ)2 --> α22=(α+β-1/2*αβ)2 -->   
α22= α22+1/4*α2β2+2*αβ-α2β-αβ2 -->
α2222+1/4*α2β2+2*αβ-α2β-αβ2 =0--> 
1/4*α2β2+2*αβ-α2β-αβ2 =0-->
Βγάζουμε κοινό παράγοντα το (αβ) κι’ έχουμε:
αβ(1/4*αβ+2-α-β)=0  (αβ διάφορο του μηδενός)
Διαιρούμε δια (αβ) κι’ έχουμε:
αβ(1/4*αβ+2-α-β)/αβ=0 --> 1/4*αβ+2-α-β=0 --> 
αβ+2*4-4*α-4*β=0 -->
Προσθέτουμε και στα δύο μέλη τον αριθμό 8 κι’ έχουμε:
αβ+2*4-4*α-4*β=0 --> αβ+2*4-4*α-4*β+8=8 -->  αβ-4*α+16-4*β=8 -->
α(β-4)+16-4β=8 --> α(β-4)-4β-16=8 --> α(β-4)-4(β-4)=8 --> 
(β-4)*(α-4)=8 --> (β-4)=8/(α-4)
Άρα (α – 4) είναι διαιρέτης του 8 οπότε οι πιθανές τιμές του «α» είναι :2,3,5,6,8,12
Ελέγχουμε κάθε περίπτωση υπολογίζοντας τα «α» και «β» και διαπιστώνουμε ότι 
οι μόνες λύσεις είναι οι τριάδες:
(6,8,10) ως προς το  Πλάτωνα.
(5,12,13).ως προς το Πυθαγόρα.
Επαλήθευση:
Π=Ε --> α+β+γ=1/2*αβ ---> 6+8+10=1/2(6*8) ---> 24=48/2
Π=Ε --> α+β+γ=1/2*αβ ---> 5+12+13=1/2(5*12) ---> 30=60/2

6 σχόλια:

  1. Μάλλον ένα ακόμη με πλευρές $10$,$8$,$6$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Καλημέρα κ. Papaveri
    Έχω λύση αναλυτική και θα την ανεβάσω αργότερα.
    Θα επιθυμούσα όμως μετά να δω την δική σας .

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Αν η περίμετρος είναι $2\tau = \alpha + \beta + \gamma $ και $\rho = $η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma $ , με $\alpha = $υποτείνουσα και $\beta ,\gamma $ κάθετες πλευρές, θα ικανοποιούνται οι σχέσεις:$\alpha = {\kappa ^2} + {\lambda ^2},\beta = {\kappa ^2} - {\lambda ^2},\gamma = 2\kappa \lambda $ με $\kappa ,\lambda \in \mathbb{N} = \{ 1,2,3,...,\nu \} $ . Επίσης από το επίταγμα της ασκήσεως θα προκύψει $\tau \rho = 2\tau \Rightarrow \rho = 2 = \tau - \alpha \Rightarrow \beta + \gamma = 4$. Έτσι τώρα θα έχουμε την εξίσωση: ${\kappa ^2} - {\lambda ^2} + 2\kappa \lambda = {\kappa ^2} + {\lambda ^2} + 4 \Rightarrow \boxed{\kappa = \lambda + \dfrac{2}{\lambda }}$.Η σχέση αυτή μας αναγκάζει να δεχτούμε μόνο δύο τιμές για τους ταυτόχρονα ακεραίους $\kappa ,\lambda $ .
    1)Αν $\lambda = 1 \Rightarrow \kappa = 3$ και άρα $\boxed{\alpha = 10,\beta = 8,\gamma = 6}$ ενώ 2) αν $\lambda = 2 \Rightarrow \kappa = 3$ και άρα $\boxed{\alpha = 13,\beta = 5,\gamma = 12}$ και … Τέλος.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Καλήμέρα κύριε Στάθη.
    Συγχαρητήρια! Η απάντησή σας είναι σωστή.
    Μόλις επιστρέψω θ' αναρτήσω και τη δική μου λύση, όπως κάνω κάθε φορά άλλωστε.
    Το Papaveri είναι το ψευδώνυμό μου . Τ' όνομάμου είναι Carlo de Grandi.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Tα τρίγωνα γενικά που έχουν αυτή την ιδιότητα είναι όλα κι όλα $5$.
    Από τύπο Ήρωνα, πρέπει να ικανοποιηθεί η:
    $(α+γ-β)(α+β-γ)(β+γ-α)=16(α+β+γ)$
    Οι τρεις παράγοντες αριστερά πρέπει να είναι άρτιοι, άρα έχουμε:
    $(α+γ-β)=2x$
    $(α+β-γ)=2y$
    $(β+γ-α)=2z$
    άρα: $xyz=4(x+y+z)$
    Aυτή είναι ισοδύναμη με την:
    $(zx-4)(zy-4)=4(z^{2} + 4)$
    Για z=1---> $(y-4)(x-4)=20$ που δίνει τις λύσεις
    $(y,x)=(5,24), (6,14),(8,9)$
    Για z μεγαλύτερο ή ίσο με $2$ καταλήγουμε στην:
    $12z^{2} -z^{4}>=0$---
    z μικρότερο ή ίσο $2sq.rt3$ άρα $z=2$ ή $z=3$
    H z=3 δεν δίνει αποδεκτές λύσεις (επειδή η λύση (y,x)=(2,10) δίνει z μικρ.ή ίσο y)
    Tελικά λοιπόν υπάρχουν 5 συνολικά λύσεις:
    $(α,β,γ)=(6,29,25),(7,20,15),(9,17,10),(5,13,12),(6,10,8)$
    κι αυτά είναι όλα τα τρίγωνα (ορθογώνια και μη ορθογώνια) με ακέραια μήκη πλευρών και περίμετρο ίση με το εμβαδό τους.

    ΑπάντησηΔιαγραφή