Κυριακή, 19 Οκτωβρίου 2014

Από πού ως πού ίσα?

Το τρίγωνο $ABC$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και το , τυχαίο σημείο της υποτείνουσας
Επιλέγω σημεία $T,R$ της , ώστε $CT\perp{AS}$ και . Δείξτε ότι : .

1 σχόλιο:

  1. Κατασκευάζουμε το τετράγωνο ABDC και φέρουμε την DS και έστω E το σημείο τομής της CT με την AS. Από το ορθογώνιο ESC βρίσκουμε την γωνία SCE=90-φ, άρα η ECA=45-(90-φ)=φ-45. Από το ορθογώνιο CAT έχουμε τη γωνία CTA=90-(φ-45)=135-φ. από το τρίγωνο SPB έχουμε τη γωνία SPB=180-(45+φ)=135-φ. τα τρίγωνα BDS και BSA είναι όμοια γιατί BS κοινή BD=AB σαν πλευρές του τετραγώνου και οι γωνίες SBD=SBA=45, άρα η γωνία SDB=SAB. Από το ορθογώνιο ETA η γωνία EAT=90-CTA=90-(135-φ)=φ-45=SAB=SDB. Στο τρίγωνο SDB έχουμε τη γωνία DSB=180-45-(φ-45)=180-φ, άρα τα σημεία D, S, P είναι συνευθειακά και τα ορθογώνια CAT και DBP είναι ίσα συνεπώς και η AT=PB σαν τις απέναντι κάθετες από τις ίσες γωνίες PDB και ACT.

    ΑπάντησηΔιαγραφή