Πέμπτη, 16 Οκτωβρίου 2014

Η Συγκέντρωση

Σε μια κοσμική συγκέντρωση κατά του αλκοολισμού παραβρέθηκαν 150 άνδρες και 70 γυναίκες. Ο μπάρμαν  ισχυρίστηκε, μετά το τέλος της συγκέντρωσης, ότι καταναλώθηκαν συνολικά 1.110 αναψυκτικά. Επίσης επιβεβαιώθηκε ότι ο κάθε άνδρας κατανάλωσε  τον ίδιο αριθμό  αναψυκτικών με οποιονδήποτε άλλο άνδρα και το ίδιο  ισχύει και για τις γυναίκες. Πόσα αναψυκτικά κατανάλωσε κάθε άνδρας και πόσα αναψυκτικά κατανάλωσε κάθε γυναίκα;
Λύση:

Κάθε άνδρας ήπιε 6 αναψυκτικά και κάθε γυναίκα 3 αναψυκτικά. Έστω «Α» τα αναψυκτικά που κατανάλωσε κάθε άνδρας και «Γ» τα αναψυκτικά που κατανάλωσε κάθε γυναίκα, τότε θα ισχύει:

150Α+70Γ=1.110

Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το 10, κι’ έχουμε:

150Α+70Γ=1.110 ---> 150Α/10+70Γ/10=1110/10  ----> 15Α+7Γ=111 (1).
Από την (1) βλέπουμε ότι εφόσον το 111 και το 15Α πολλαπλάσια του 3, τότε και το 7Γ είναι πολλαπλάσιο του 3, δηλαδή, Γ πολλαπλάσιο του 3. Έτσι Γ=3Μ , για Μ κάποιο φυσικό αριθμό η (1) γίνεται:

15Α+7Γ=111 ---> 15Α+7(3Μ)=111 ---> 15Α+21Μ=111

Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το 10, κι’ έχουμε:

15Α+21Μ=111 ---> 15Α/3+21Μ/3=111/3 ---> 5Α+7Μ=37 (2)

Από την (2) λαμβάνοντας υπόψη ότι Α, Μ φυσικοί αριθμοί προκύπτει: 0≤Μ<5, οπότε Μ=1,2,3,4,5
Η μοναδική τιμή του Μ που δίνει ακέραια τιμή για το Α είναι Μ=1 (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
5Α+7Μ=37 ---> 5Α+7*1=37 ---> 5Α+7=37 ---> 5Α=37-7 ---> 5Α=30 ---> Α=30/6 --->
Α=6.
Επαλήθευση:
150Α+70Γ=1.110 ---> [(150*6)+(70*3)]=1.110 ---> 900+210=1.110 ο.ε.δ.

4 σχόλια:

  1. Πρέπει να βρούμε τις ακέραιες και θετικές λύσεις της εξίσωσης

    $15x + 7y = 111$. Μια γενική λύση είναι $x = 6 - 7k$ και $y = 3 + 15k$ με $k \in \mathbb{Z}$ .

    Αλλά έχει μόνο μια θετική και ακεραία λύση , την $(x,y) = (6,3)$.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Γεια σου Κάρλο.
    Ενδιαφέρον διοφαντικό θεματάκι, αλλά θα το προσεγγίσω με αυτά που θυμόμουν και ήξερα από παλιά πριν την ενασχόληση μου στο διαδίκτυο.
    $150X+70Y=1110 \Rightarrow 15X+7Y=111 \Rightarrow $
    $Y= \dfrac{111}{7}- \dfrac{15X}{7}$ $= 15\dfrac{6}{7}- (2\dfrac{1}{7})X$
    Ολοφάνερα $X=6, Υ=3$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Γεια σου Ευθύμη. Πολύ ωραία η προσέγγιση σου.

      Διαγραφή