Τετάρτη, 8 Οκτωβρίου 2014

"Ελληνικό" σύστημα

Να λυθεί το σύστημα: 
$x+y+z+w=4$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{w}=5-\frac{1}{xyzw}$
όπου $x,y,z,w\in{R^+}$.
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία - Διαγωνισμός Επιλογής 2010
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

10 σχόλια:

  1. Έστω x=1, y=1, z=1 και w=1
    Αντικαθιστούμε τις τις τιμές στην (1) κι' έχουμε:
    x+y+z+w=4 ----> 1+1+1+1=4
    Αντικαθιστούμε τις τις τιμές στην (2) κι' έχουμε:
    (1/x)+(1/y)+(1/z)+1/w)=5-1/xyzw --->
    (1/1)+(1)+(1/1)+(1/1)=5-1/1*1*1*1 ----> 1+1+1+1=5-1/1 --->
    4=5-1 ο.ε.δ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Διόρθωση:
    (1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1)=5-1/1*1*1*1 ----> 1+1+1+1=5-1/1 --->
    4=5-1 ο.ε.δ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Σωκράτη, μήπως ζητείται λύση για θετικούς πραγματικούς;
    Σ'αυτήν την περίπτωση με εφαρμογή της ανισότητας Αρ.Μέσου-Γεωμετρ.Μέσου δύο φορές καταλήγουμε στο $\[ (x+y+z+w)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{w}\right)\ge 16\ \Rightarrow xyzw\ge 1 \] $ και στο $xyzw \leq 1$ (από την x+y+z+w=1 άρα (x+y+z+w)/4)^4<= xyzw ) ,άρα μοναδικές θετικές πραγματικές λύσεις οι άσσοι.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Παρντόν. Ορθή επανάληψη του μασημένου:
    $\ (x+y+z+w)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{w}\right)\ge 16\ \Rightarrow xyzw\ge 1 \$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Τρίτη και φαρμακερή...?
    $(x+y+z+w)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{w}\right)\ge 16\ \Rightarrow xyzw \geq 1$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Γιώργο, έχεις δίκιο. Το διόρθωσα. Ευχαριστώ ...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  9. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  10. Κάνοντας πράξεις στην δεύτερη εξίσωση έχουμε: 4/xyzw =5-1/xyzw,λύνοντας έχουμε: 5/xyzw =5 δηλαδή xyzw=1,συνεπώς το σύστημα γίνεται: x+y+z+w=4 και 1/x +1/y +1/z+1/w=4,εξισώνοντας τα πρώτα μέλη των εξισώσεων έχουμε x+y+z+w=1/x +1/y +1/z+1/w (1).Από την ανισότητα αριθμητικού γεωμετρικού και αρμονικού μέσου μέσου γενικά για α1,α2,α3,α4 θετικούς πραγματικούς αριθμούς,είναι: Αριθμητικός μέσος (α1,α2,α3,α4)>=Γεωμ.μέσος (α1,α2,α3,α4) >= Αρμονικός μέσος (α1,α2,α3,α4),η ισότητα ισχύει όταν α1=α2=α3=α4=1.Συνεπώς η λύση του συστήματος ,λόγω της εξίσωσης (1) είναι:x=y=z=w=1.

    ΑπάντησηΔιαγραφή