Δευτέρα, 13 Οκτωβρίου 2014

Ψαρομεζές

O Μήτσος είναι μια τσιπούρα. Κολυμπάει σε ένα ενυδρείο όπου υπάρχουν δύο είδη ψαριών. Τσιπούρες και κεφαλόπουλα. Οι τσιπούρες είναι $Τ$ τον αριθμό και τα κεφαλόπουλα $Κ$.
Ένα κάθε φορά, τα ψάρια ψαρεύονται τυχαία και τηγανίζονται, έως ότου μείνει μόνο ένα είδος στο ενυδρείο. Ποια είναι η πιθανότητα ο Μήτσος να επιζήσει απ'αυτή τη διαδικασία; Η απάντηση να δοθεί στην απλούστερη δυνατή μορφή. 

10 σχόλια:

  1. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Για να γλιτώσει ο Μήτσος το τηγάνισμα πρέπει:
    α) να ψαρευτούν πρώτα όλοι οι κέφαλοι και να απομείνουν στο ενυδρείο μόνο τ τσιπούρες, όπου 1 ≤ τ ≤ Τ και
    β) ο Μήτσος να είναι μια από τις τ τσιπούρες που θα απομείνουν.

    Για να συμβεί το α, θα πρέπει να έχουν ψαρευτεί Κ κέφαλοι και Τ-τ τσιπούρες, δηλαδή συνολικά Κ+Τ-τ ψάρια, από τα οποία τα Κ κέφαλοι (ή ισοδύναμα τα Τ-τ τσιπούρες). Αυτό μπορεί να συμβεί με C(Κ+Τ-τ, Κ) τρόπους, ενώ οι συνολικοί τρόποι να ψαρευτούν Κ+Τ-τ ψάρια, ανεξαρτήτως είδους, είναι 2^(Κ+Τ-τ).
    Συνεπώς για να απομείνουν στο ενυδρείο τ τσιπούρες (και κανένας κέφαλος), η πιθανότητα είναι:
    Ρτ = C(Κ+Τ-τ, Κ) / 2^(Κ+Τ-τ).

    Για να συμβεί το β (με την προϋπόθεση να έχει συμβεί το α), η πιθανότητα είναι:
    Πτ = τ/Τ.

    Επομένως για να γλιτώσει ο Μήτσος, η πιθανότητα είναι:
    Σ(Ρτ*Πτ), για τ από 1 έως Τ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Να διορθώσω τον υπολογισμό της Ρτ:
    οι συνολικοί τρόποι να ψαρευτούν Κ+Τ-τ ψάρια, άρα να απομείνουν τ, ανεξαρτήτως είδους, από Κ+Τ αρχικά, είναι C(Κ+Τ, τ), επομένως:
    Ρτ = C(Κ+Τ-τ, Κ) / C(Κ+Τ, τ)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Θανάση, ευχαριστώ για το σχόλιο!
    Αν ερμηνεύω σωστά την ανάλυση και το αποτέλεσμά σου ,συναρτάς την πιθανότητα επιβίωσης του Μήτσου από το τ . Ουσιαστικά δηλαδή από τον ολικό αριθμό από τσιπούρες που είναι στο ενυδρείο. Αυτό όμως δεν είναι σωστό. Μοναδική προϋπόθεση για να σωθεί ο Μήτσος (και ο οποιοσδήποτε "μήτσος=τσιπούρα" ) είναι να φαγωθούν/ψαρευτούν όλα τα Κ κεφαλόπουλα πριν η απόχη τσακώσει αυτόν. Άρα...
    ΥΓ.Η πιθανότητα επιβίωσης του Μήτσου είναι πολύ συγκεκριμένη και εξαρτάται μόνο από τον αριθμό των...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Μία μικρή διόρθωση, στην κατά τα άλλα, εξαιρετική προσέγγιση του Θανάση. Η πιθανότητα Ρτ ισούται με
    Ρτ = C(Τ,τ) / C(Κ+Τ, τ), και αυτό διότι για να συμβεί η (α) συνθήκη, θα πρέπει τα τ ψάρια που θα απομείνουν να είναι όλα τσιπούρες (Τ). Και αυτό μπορεί να συμβεί με C(Τ,τ) δυνατούς τρόπους.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Μία πιό διαισθητική προσέγγιση θα ήταν να πούμε ότι η πιθανότητα επιβίωσης του Μήτσου είναι 1/(Κ+1). Και αυτό γιατί αν ο Μήτσος ήταν η μοναδική τσιπούρα ανάμεσα σε Κ κέφαλους, τότε πράγματι η πιθανότητα να ψαρευτεί τελευταίος θα ήταν 1/(Κ+1). Η παρουσία των υπόλοιπων Τ-1 τσιπουρών, δεν επηρεάζει τις πιθανότητες που εχει ο Μήτσος να επιβιώσει μέχρι να ψαρευτεί και ο τελευταίος κέφαλος.
    Τώρα το αν προκύπτει αυτό το αποτέλεσμα απο την ανάλυση που προηγήθηκε, είναι ένα ερώτημα. Μάλλον δεν προκύπτει και πιθανολογώ ότι οφείλεται στο γεγονός ότι τα διάφορα ενδεχόμενα που αθροίζονται (από τ=1 εως Τ), δεν είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Στράτο, αυτό είναι! Μπράβο.
      Το κλειδί είναι ακριβώς το γεγονός πως οι Τ-1 υπόλοιπες τσιπούρες είναι άσχετες(δεν επηρεάζουν) τις πιθανότητες του Μήτσου.
      Ο Μήτσος σώζεται εάν και μόνο εάν και τα Κ κεφαλόπουλα ψαρευτούν πριν απ'αυτόν.
      Υπάρχουν Κ+1 τρόποι να μετατεθούν τα κεφαλόπουλα κι ο Μήτσος και μόνο μία απ'αυτές (αυτή με το Μήτσο στο τέλος της ουράς...κάνει),
      άρα p(Mήτσος ζει)= $1/(Κ+1)$

      Διαγραφή
  7. Αφοπλιστικά έξυπνη η σκέψη ότι ο Μήτσος γλιτώνει μόνο στην περίπτωση που έχουν ψαρευτεί πριν από αυτόν όλοι οι κέφαλοι και χωρίς άλλο οδηγεί αμέσως στην απάντηση.
    Μπράβο Στράτο!!
    Υποψιάζομαι ότι η αρχική μου προσέγγιση, με κάποιες βελτιώσεις , θα μπορούσε να δώσει το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά αντί για αυτό θα προτιμήσω να αρκεστώ στη μαγεία της παραπάνω λύσης.
    Μπράβο και σε εσένα Γιώργο για το ωραίο πρόβλημα!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. Πολύ ωραίο πρόβλημα. Το εκνευριστικό είναι το ότι δεν αντιλαμβάνεται εύκολα κανείς ότι δίνονται στοιχεία που δεν επηρεάζουν το ζητούμενο (είχα φτάσει να σκέφτομαι για ακολουθιακά σχέδια δειγματοληψίας). Αν κάποιος δεν έχει πειστεί, μια προσομοίωση μπορεί να βοηθήσει.

    http://ideone.com/osarCZ

    Στο συγκεκριμένο παράδειγμα υπάρχουν 4 κέφαλοι και 50 τσιπούρες, άρα αναμένεται πιθανότητα 1/5. Πατώντας fork μπορείτε να επαναλάβετε τη διαδικασία δίνοντας άλλο πλήθος τσιπούρων (TSI, στην τελευταία γραμμή) και να δείτε ότι η πιθανότητα δεν μεταβάλλεται.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ωραίο το προγραμματάκι σου, Herr Halb! :-)
      Οι Πιθανότητες θέλουν (και προσκαλούν "εκ φύσεως") πράγματι το "επί τον τύπον των ήλων" τους! :-)

      Διαγραφή