Τετάρτη, 15 Οκτωβρίου 2014

Μαθηματικά δυτικά του Πέκος

Στην επίπεδη πλατεία του Gun-town έχουν συγκεντρωθεί $ν$ πιστολάδες. Δεν υπάρχουν τρεις στην ίδια ευθεία, και οι αποστάσεις μεταξύ όλων των ζευγαριών είναι διαφορετικές. Με το σινιάλο, κάθε πιστολάς πυροβολεί μία φορά τον άνδρα που βρίσκεται κοντύτερά του. Δείξτε πως αν ο $ν$ είναι περιττός, τότε τουλάχιστον ένας πιστολάς επιζεί. Δείξτε επίσης πως αν ο $ν$ είναι άρτιος, τότε είναι δυνατόν να σκοτωθούν όλοι.

4 σχόλια:

  1. Εφ'όσον όλες οι ανά δύο αποστάσεις είναι διαφορετικές, θεωρούμε τους δύο πλησιέστερους πιστολάδες. Με το σινιάλο, αυτοί οι δύο θα αλληλοπυροβοληθούν, και πιθανότατα θα αλληλοσκοτωθούν.
    Απομένουν ακόμα ν-2 πιστολάδες. Εχουμε δύο ενδεχόμενα:
    Αν τουλάχιστον ένας από αυτούς έχει ως κοντινότερο έναν από τους δύο προηγούμενους, τότε θα πυροβολήσει αυτόν. Οπότε θα απομένουν πλέον να πυροβολήσουν ν-3 ακόμα πιστολάδες, ενώ οι ζωντανοί θα παραμένουν ν-2. Αρα τουλάχιστον ένας θα παραμείνει ζωντανός στο τέλος.
    Αν κανένας από τους υπόλοιπους ν-2 δεν έχει ως κοντινότερο κάποιον από τους αρχικούς δύο, τότε ξαναεφαρμόζουμε την ίδια συλλογιστική: Επιλέγουμε από τους ν-2 τους δύο πλησιέστερους που αλληλοπυροβολούνται, αλληλοσκοτώνονται κλπ....
    Στο τέλος, αν ο ν είναι περιττός, θα απομείνει σίγουρα τουλάχιστον ένας επιζών. Αν ο ν είναι άρτιος ενδέχεται να μην υπάρξει επιζών, εάν όλοι βρίσκονται σε ζευγάρια ελάχιστης απόστασης μεταξύ τους.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Συμφωνώ απόλυτα με την ανάλυση του Στράτου και ας μου επιτρέψει να τη συνοψίσω ως εξής:
    Για να σκοτωθούν όλοι, κανένας πιστολάς δεν πρέπει να είναι ο κοντινότερος περισσότερων του ενός από τους άλλους πιστολάδες. Για να συμβεί όμως αυτό, δεδομένου ότι όλες οι ανά δύο αποστάσεις είναι διαφορετικές μεταξύ τους, αν ένας οποιοσδήποτε πιστολάς Α έχει κοντινότερο τον Β, θα πρέπει και ο Β να έχει κοντινότερο τον Α. Επομένως, σκοτώνονται και οι ν πιστολάδες μόνο με την προϋπόθεση ότι σχηματίζουν ν/2 ζευγάρια μεταξύ τους, πράγμα που είναι δυνατό μόνο για ζυγό ν.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Oι καλοί σχολιαστές κάλυψαν το θέμα πλήρως θεωρώ,οπότε η μοναδική δόκιμη προσθήκη από μένα είναι τα αχρείαστα μεν αλλά χρειαζούμενα (ωραίος "αποκλειόμενος τρίτος"...ε;) συγχαρητήρια! :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Γιώργη, να είσαι καλά! Ωστόσο 'αποκλειόμενος τρίτος' αποκλείεται να είναι κάποιος που είναι πρώτος, χωρίς όμως να αποκλείεται να είναι και ωραίος! :-)

      Διαγραφή