Παρασκευή, 10 Οκτωβρίου 2014

Το Λάθος

Σε ένα υπεραστικό λεωφορείο, όπου γίνεται επιβίβαση μόνο στην αφετηρία, επιβιβάστηκαν 50 επιβάτες. Κατά τη διαδρομή αποβιβάστηκαν όλοι οι επιβάτες. 
Βλέπε κατωτέρω πίνακα:
Πως προέκυψε ένας επιβάτης παραπάνω; Που είναι το λάθος;
Πηγή:mathhmagic
Λύση: Δεν υπάρχει λάθος .Με τις διαδοχικές αφαιρέσεις των αριθμών των επιβατών που κατεβαίνουν σε κάθε στάση έχουμε και διαφορετικά υπόλοιπα (αριθμούς επιβατών που έμεναν στο λεωφορείο). Ενώ όμως το άθροισμα των επιβατών που κατεβαίνουν είναι ίσο με το αρχικό πλήθος των επιβατών, το άθροισμα των διαδοχικών υπολοίπων (των επιβατών που παραμένουν στο λεωφορείο σε κάθε στάση) δεν είναι απαραίτητο να ισούται με το αρχικό πλήθος των επιβατών. Συγκεκριμένα:
Ε = είναι το αρχικό πλήθος των επιβατών.
Κ = ο αριθμός των επιβατών που κατεβαίνουν στην 1η στάση.
Π =το υπόλοιπο. ( ο αριθμός των επιβατών που παραμένουν στο λεωφορείο).
Τότε έχουμε:
Ε-Κ=Π.
Κ1 = ο αριθμός των επιβατών που κατέβηκε στην 2η στάση.
Τότε έχουμε:
Π-Κ1=Π1
Κ2 = ο αριθμός των επιβατών που κατέβηκε στην 3η στάση.
Π1-Κ2=Π2
Κ3 = ο αριθμός των επιβατών που κατέβηκε στην 4η στάση.
Π2-Κ3=0
Προσθέτουμε κατά μέλη:
(Ε+Π+Π1+Π2)-(Κ+Κ1+Κ2+Κ3)=Π+Π1+Π2 ή Ε=Κ+Κ1+Κ2+Κ3
Από όπου δεν προκύπτει πουθενά ότι Π+Π1+Π2=Ε.
(Διασκευή από σπαζοκεφαλιά του Μάρτιν Γκάρντνερ στο βιβλίο του «Entertaining mathematical puzzles”).

9 σχόλια:

  1. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Στάσεις.........Κάθοδος.....Εναπομείναντες
    Λεωφορείου...Επιβατών....Επιβάτες
    $1\eta ...............1..............49$
    $2\eta ...............1..............48$
    $3\eta ...............1..............47$
    $.......................................$
    $49\eta ..............1..............1$
    $50\eta ..............1..............0$
    $......................................$
    Σύνολο$..........50.........1225$
    Και αν βάλουμε και στάσεις να μήν κατεβαίνει επιβάτης...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ευθύμη δεν απάντησες που βρίσκεται το λάθος. Επίσης θα μπορείς να μου αναλύσεις το σκεπτικό της λύσης σου;

      Διαγραφή
    2. Καλησπέρα . Νομίζω , Ο Εξαίρετος Ευθύμης, ότι όχι απλώς απάντησε το γρίφο αλλά έδωσε πλήρη απόδειξη με το αντιπαράδειγμα που επέλεξε.
      Είπε δηλαδή το εξής απλό :
      Αν ήταν σωστό να προσθέσουμε του εναπομέιναντες επιβάτες θα έχουμε μαθηματικό αδιέξοδο (άτοπο).
      Θεωρείται δε η αποδεικτική αυτή μέθοδος ίσως η ισχυροτέρα της μαθηματικής λογικής. Η απόδειξη π.χ. του Ευκλείδη της πρότασης: υπάρχουν άπειροι θετικοί πρώτοι αριθμοί , προκαλεί μαθηματική ανατριχίλα μέχρι σήμερα στους απανταχού μαθηματικούς και όχι μόνο.

      Διαγραφή
  4. κι όμως η πρώτη "σκέψη" είναι να προσθέσουμε τους αριθμούς που βλέπουμε ... χωρίς να εξετάσουμε τι αντιπροσωπεύουν ... κατάλοιπο εκμάθησης ανούσιων αλγορίθμων...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ακριβώς αυτό είναι. Δεν προσθέτουμε τα υπόλοιπα, αλλά αυτά που αφαιρούνται κάθε φορά.

      Διαγραφή