Σάββατο, 13 Σεπτεμβρίου 2014

Η Μεταφορά

Μια καμήλα κάθεται δίπλα σε έναν σωρό 3.000 μπανανών στην άκρη μιας ερήμου που εκτείνεται 1.000 μίλια. Πρόκειται να διασχίσει την έρημο και να μεταφέρει στην άλλη πλευρά της ερήμου όσες μπανάνες μπορεί. Η καμήλα μπορεί να μεταφέρει 1.000 μπανάνες τη φορά, αλλά για κάθε μίλι τρώει μια μπανάνα. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός μπανανών που μπορεί η καμήλα να μεταφέρει στην άλλη πλευρά της ερήμου; Πώς θα καταφέρει η καμήλα να το πετύχει αυτό;

16 σχόλια:

  1. Αφού μεταφέρει $1000$ ανά δρομολόγιο και τρώει μία ανά μίλι, το “κλειδί” πρέπει να είναι το “1000”, δηλαδή να μοιρασθούν έτσι οι σταθμοί του πήγαινε-έλα ώστε στο πέρας των δρομολογίων ανά σταθμό να έχουν φαγωθεί $1000$, έτσι εξασφαλίζουμε την μικρότερη δυνατή σπατάλη σε μπανάνες για την τροφή του ζώου.
    Μέχρι τον $1o$ σταθμό χρειάζονται $5$ δρομολόγια, $3$ πρoς τον σταθμό και $2$ πρός την αφετηρία. Αν $x$ η απόσταση μέχρι τον $1o$ σταθμό, τότε η τροφή είναι $5x=1000 \Rightarrow x=200$ και θα έχουν μεταφερθεί $3000-1000=2000$ μπανάνες
    Μέχρι τον $2o$ σταθμό χρειάζονται $3$ δρομολόγια, $2$ πρoς τον σταθμό και $1$ πίσω, προς τoν $1o$. Αν $x$ η απόσταση μέχρι τον $2o$ σταθμό, τότε η τροφή είναι $3x=1000 \Rightarrow x=\dfrac{1000}{3}=333,333... $ και θα έχουν μεταφερθεί $2000-1000=1000$ μπανάνες.
    Έμεινε ένα δρομολόγιο $1000-200-333,333...=466,666...$ μιλίων και διασχίσαμε την έρημο.
    Θα φαγωθούν $466,666...$ μπανάνες και θα έχουν απομείνει $1000-466,666...= \dfrac{1600}{3}$ μπανάνες! :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Ευθύμη πολύ σωστά το ανέλυσες. Συγχαρητήρια! Άρα το υπόλοιπο των μπανανών είναι 533,333.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Πώς θα μεταβαλλόταν η ποσότητα μπανανών που θα μπορούσε να μεταφέρει η καμήλα αν δεν επιτρεπόταν να αλλάξει πορεία πάνω από 4 φορές;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Αν κατάλαβα, λόγω του λακωνικού της στυλ, την ερώτηση δίνω μόνο το αποτέλεσμα, μήπως θέλει να ασχοληθεί και κάποιος άλλος με το θέμα.
    Θα μεταφερθούν $400$ μπανάνες.
    Και μια δική μου παραλλαγή του θέματος.
    Αν οι διαθέσιμες μπανάνες είναι $5000$, ποια είναι είναι η μεγαλύτερη δυνατή διαδρομή μετ' επιστροφής, που μπορεί να κάνει η καμήλα καταναλώνοντας μια ($1$) μπανάνα κάθε δύο($2$) χιλιόμετρα

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Καλημέρα Ευθύμη.
    Με τον περιορισμό που έθεσα, εννοώ ότι η καμήλα ξεκινάει προς μια κατεύθυνση (προς την άλλη άκρη) και στη συνέχεια επιτρέπονται μέχρι 4 αλλαγές κατεύθυνσης.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Καλημέρα Σωτήρη
    Εντάξει, αυτό κατάλαβα και 'γω. (Απο την αφετηρία στον πρώτο και μοναδικό "σταθμό", γυρίζει πίσω (μία αλλαγή κατεύθυνσης) στην αφετηρία αλλάζει κατεύθυνση (2 οι αλλαγές) στον 1ο σταθμό αλλάζει κατεύθυνση (3 οι αλλαγές) στην αφετηρία αλλάζει κατεύθυνση (4 οι αλλαγές) και μεταφέρει και την τρίτη και τελευταία χιλιάδα και συνεχίζει μέχρι την άλλη άκρη, με στάση βέβαια στον "σταθμό" φορτώσει και τις μπανάνες
    Με αυτό το δρομολόγιο δεν είναι το $400$ ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός μπανανών που μπορεί να μεταφέρει?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Πράγματι υπάρχει με αποτέλεσμα την μεταφορά
    $\dfrac{1600}{3}=533 \dfrac{1}{3}$ μπανανών.
    Καλό. Το ευχαριστήθηκα εκ του αποτελέσματος!
    Όπως και το ...δισορθογώνιο τρίγωνο.

    Το ερώτημα μου παραμένει αναπάντητο....

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Πολύ σωστά Ευθύμη! Ο περιορισμός που έθεσα δεν μεταβάλλει τη μέγιστη ποσότητα μπανανών που μπορεί να μεταφερθεί. Μάλιστα, τον περιορισμό τον σκέφτηκα, όταν συνέκρινα τις λύσεις μας για το αρχικό πρόβλημα.
      ΥΓ. Μόλις βρω λίγο χρόνο θα ασχοληθώ με το ερώτημά σου και ελπίζω να μπορέσω να το απαντήσω.

      Διαγραφή
    2. Ακριβώς γιαυτό το λόγο που περιγράφεις "την σύγκριση των λύσεων μας", "το ευχαριστήθηκα εκ του αποτελέσματος" $(533,333...)$, όπως έγραψα, γιατί αντιλήφθηκα ότι είχες μία άλλη λύση με το ίδιο αποτέλεσμα. Οι δύο λύσεις είναι μία στην ουσία. Η μία είναι αντιμετάθεση της άλλης όσον αφορά τα επιμέρους δρομολόγια $ x_{1}, x_{2}, x_{3}$ , όπου
      $ x_{1}=200, \ x_{2}=333 \dfrac{1}{3}, \ x_{3}=466 \dfrac{2}{3}$.
      Η μια λύση είναι: $ 5x_{1}+3 x_{2}+ x_{3}$
      Η άλλη είναι: $3x_{1}+2 x_{2}+ 2x_{1} + x_{2}+ x_{3}$ $=5x_{1}+3 x_{2}+ x_{3}$

      Διαγραφή
  8. Για το ερώτημα του Ευθύμη, υποθέτω ότι η καμήλα εξακολουθεί να μπορεί να κουβαλήσει μέχρι 1000 μπανάνες κι ότι η έρημος εκτείνεται όσο χρειαστεί. Με παρόμοια μεθοδολογία, υπολογίζω ότι η καμήλα μπορεί να διανύσει μετ' επιστροφής (200+250+333.3+500+1000)km=2283.3km

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ακριβώς Σωτήρη, $2283.333...$ χλμ προχωρά μέσα στην έρημο και άλλα τόσα στην επιστροφή σύνολο τελικά $2283.333*2=4566.66...$.
      Η μεθοδολογία που ανέπτυξα στο αρχικό θέμα που έβαλε και σωστά την επέκτεινες στο μετ' επιστροφής ταξίδι είναι γενική και εφαρμόζεται σε κάθε περίπτωση.
      Δεν την γνώριζα, την βρήκα μόνος μου.

      Διαγραφή
    2. "στο αρχικό θέμα που έβαλε" ο Κάρλο [...] ήθελα να γράψω.

      Διαγραφή
  9. Κάρλο μάλλον κάναμε κατάχρηση της φιλοξενίας σου και πιθανόν ...αντιποίηση αρχής, αλλά θεωρώ ότι άξιζε τον κόπο!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ευθύμη, συμφωνώ μαζί σου. Διότι έτσι διευρύνεται το πεδίο των γνώσεων.

      Διαγραφή