Τετάρτη 27 Αυγούστου 2014

Οξυγώνιο σε δεκαεπτάγωνο

Ένα πρόβλημα που μου έστειλε ο φίλος Θανάσης Παπαδημητρίου (papadim).
Επιλέγουμε στην τύχη τρεις κορυφές από ένα κανονικό δεκαεπτάγωνο. Ποια είναι η πιθανότητα το τρίγωνο που σχηματίζεται απ'αυτές τις κορυφές να είναι οξυγώνιο;
Αναρτήθηκε από στις 27.8.14
Ετικέτες ,

10 σχόλια:

  1. papadim27 Αυγούστου 2014 στις 4:31 μ.μ.

    Γιώργο, ευχαριστώ! Για τους φίλους που θα ήθελαν να ασχοληθούν, να πω μόνο ότι το γεωμετρικό σκέλος του προβλήματος τελειώνει ουσιαστικά αν κάποιος σκεφτεί μια βασική ιδιότητα των οξυγωνίων τριγώνων. Από εκεί ξεκινάει η συνδυαστική ανάλυση που είναι νομίζω ενδιαφέρουσα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. pantsik27 Αυγούστου 2014 στις 5:54 μ.μ.

    Σκέφτηκα τα εξής: Για να ΜΗΝ είναι οξυγώνιο ένα τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο, θα πρέπει όλες οι κορυφές του να βρίσκονται στο ίδιο ημικύκλιο. Θα προσπαθήσω να υπολογίσω αυτήν την πιθανότητα, όταν αντί για κύκλο έχουμε εγγεγραμμένο 17-γωνο.
    Ξεκινώντας από ένα τυχαίο σημείο του 17-γώνου (έστω το P1 στο σχήμα του Γιώργου), αν το επόμενο σημείο που θα επιλεγεί απέχει από το P1 απόσταση 1 (έστω το P2), τότε η πιθανότητα να βρίσκονται και τα 3 στο ίδιο ημικύκλιο είναι 14/15, μιας και μόνο το σημείο P10 στο παράδειγμά μου δημιουργεί τρίγωνο που τα σημεία του δεν βρίσκονται όλα στο ίδιο ημικύκλιο.
    Αν το επόμενο σημείο που θα επιλεγεί απέχει από το P1 απόσταση 2 κορυφών (έστω το P3), τότε η πιθανότητα να βρίσκονται και τα 3 στο ίδιο ημικύκλιο είναι 13/15, κ.ο.κ. μέχρι και το σημείο P9 που απέχει από το P1 απόσταση 8 κορυφών και η πιθανότητα του είναι 7/15.
    Από το σημείο Ρ10 μέχρι και το σημείο Ρ17 οι πιθανότητες επαναλαμβάνονται με αντίστροφη σειρά, δηλαδή 7/15, 8/15, ..., έως 14/15.
    Η μέση τιμή αυτών των πιθανοτήτων είναι 0,7. Η ζητούμενη πιθανότητα να είναι το τρίγωνο οξυγώνιο είναι η συμπληρωματική αυτής, δηλαδή την υπολογίζω σε 0,3.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. RIZOPOULOS GEORGIOS27 Αυγούστου 2014 στις 6:17 μ.μ.

      Πάνο, η λύση σου μού φαίνεται εξαιρετική, πανέξυπνη και ολόσωστη.
      Αλλά για να πάρεις ολόκληρο το ρούμπο,χρειάζεται και η επιβεβαίωση του θεματοθέτη,δηλαδή του Θανάση. :-)

      Διαγραφή
  3. pantsik27 Αυγούστου 2014 στις 7:50 μ.μ.

    Ευχαριστώ πολύ Γιώργο κι ας μου έκανες τον λογαριασμό χωρίς τον ξενοδόχο. Στην περίπτωση τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο όπου οι 3 κορυφές του μπορούν να βρίσκονται οπουδήποτε πάνω στην περιφέρεια του κύκλου, υπολογίζω με συνεχείς αντί για διακριτές πιθανότητες, αλλά με το ίδιο σχέδιο λύσης, ότι η πιθανότητα οξυγώνιου τριγώνου είναι 1/4.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. RIZOPOULOS GEORGIOS27 Αυγούστου 2014 στις 10:12 μ.μ.

      Πάνο μη φοβάσαι. Έχω πτυχίο λογιστικής κι έτσι ο ξενοδόχος με εμπιστεύεται στους λογαριασμούς...
      Ναι, η πιθανότητα οξυγωνίου γενικά που λες είναι 1/4, αλλά αυτό είναι άλλο πρόβλημα (έχει και μια κάποια "απροσδιοριστία" ιδωμένο μέσα από την οπτική του παραδόξου του Μπερτράν..)
      Φαντάζομαι πως εννοείς "συνεχείς αντί για διακριτές" μια σκέψη σαν την ακόλουθη: (;)
      H θέση του 1ου σημείου είναι αδιάφορη. Το επόμενο είναι σε απόσταση 0 ώς π . Δηλαδή η απόστασή τους σε τόξο κύκλου είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο [0,π]. Αρα η πιθανότητα το 3ο σημείο να δίνει οξυγώνιο τρίγωνο είναι ομοιόμορφη στο [0, 1/2] ή φορμαλιστικά:
      $p(3)= \frac{\int_0^ \pi \frac{ \vartheta }{2 \pi } d \vartheta }{ \pi } = \frac{ \frac{1}{2} \theta ^{2} | 0 \omega \varsigma \pi }{2 \pi ^{2} } =1/4$
      Προσωπικά, προτιμώ το μπακάλικο απλό επιχείρημα που λέει πως η μεγαλύτερη γωνία ενός τριγώνου μπορεί να είναι από 60 έως 180 μοίρες.Μόνο το έν τέταρτον αυτού του εύρους παράγει ένα οξυγώνιο τρίγωνο. Αρα η πιθανότητα είναι 25%.

      Διαγραφή
    2. pantsik27 Αυγούστου 2014 στις 11:31 μ.μ.

      Γιώργο βλέπω πως έχεις και το μαθηματικό και το απλό επιχείρημα, το οποίο δεν είχα σκεφτεί. Εύγε! Για να αποφύγουμε το παράδοξο του Bertrand θα πρέπει να προσδιορίσουμε πως επιλέγουμε 3 σημεία με τυχαίο τρόπο στην περιφέρεια ενός κύκλου, όπως θα κάναμε πρακτικά περιστρέφοντας τρεις φορές ένα βελάκι στο κέντρο του και σημειώνοντας κάθε φορά το σημείο της περιφέρειας του κύκλου που δείχνει η άκρη του.

      Διαγραφή
    3. pantsik28 Αυγούστου 2014 στις 3:48 μ.μ.

      Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

      Διαγραφή
  4. pantsik28 Αυγούστου 2014 στις 3:50 μ.μ.

    Με παρότρυνση του Θανάση, ανακάλυψα και έναν άλλο τρόπο υπολογισμού της πιθανότητας οξυγωνίου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο: Με τον ίδιο υπολογισμό που έγραψα στην αρχή μπορούμε να βρούμε ότι στη γενική περίπτωση κανονικού (2n+1)-γώνου, η πιθανότητα να σχηματιστεί οξυγώνιο τρίγωνο είναι $\frac{n+1}{2(2n-1)}$.
    Στην περίπτωση του κύκλου, μπορούμε να θεωρήσουμε πως έχουμε κανονικό πολύγωνο με άπειρες κορυφές, οπότε η πιθανότητα οξυγωνίου τριγώνου είναι:
    $$P( o \xi )= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{2(2n-1)}= \frac{1}{4}$$
    Το όριο υπολογίζεται με τον κανόνα De l’Hopital για απροσδιοριστία $\frac{\infty}{\infty}$.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. papadim28 Αυγούστου 2014 στις 4:15 μ.μ.

    Έχοντας να κάνω με δυο κορυφαίους θεματοθέτες, ομολογώ ότι αισθάνομαι λίγο αμήχανα σε αυτό το ρόλο. Σήμερα όμως αποδεικνύουν, για πολλοστή φορά, ότι είναι και κορυφαίοι θεματολύτες!

    Πάνο, κάλυψες και γενίκευσες πληρέστατα και αψεγάδιαστα το θέμα! Δε μου μένει τίποτε άλλο να προσθέσω από ένα μεγάλο μπράβο!

    Γιώργο, με κάτι τέτοιες αποδείξεις, όπως αυτή η 'μπακάλικη' για τα 3 τυχαία σημεία στον κύκλο, μας δείχνεις κατ’ εξακολούθηση ότι, πέρα από τη βαθιά κατάρτισή σου, διαθέτεις μια μοναδικά αποτελεσματική απλότητα στη σκέψη. Αυτό το ‘πτυχίο’ ανωτάτης μπακαλικής, ο ξενοδόχος το εκτιμάει περισσότερο από οποιοδήποτε άλλο! J

    Σας ευχαριστώ θερμά και τους δύο.

    ΥΓ. Μιας και δώσατε κάμποσες αποδείξεις ο καθένας για τα 3 σημεία στον κύκλο, ας δώσω και μια ακόμα: Για να σχηματίζουν τα 3 σημεία οξυγώνιο τρίγωνο, πρέπει η διάμετρος που περνάει από οποιαδήποτε κορυφή να αφήνει τις άλλες δύο σε διαφορετικά ημικύκλια. Αν αυτό ισχύει για δυο κορυφές, θα ισχύει αναγκαστικά και για την τρίτη. Πιθανότητα 1/2*1/2=1/4.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. pantsik28 Αυγούστου 2014 στις 6:02 μ.μ.

      Θανάση σε ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια. Πολύ ωραία και απλή η απόδειξη που προσέθεσες.

      Διαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)