Τρίτη 29 Ιουλίου 2014

Σε ίσες αποστάσεις

Σε τρίγωνο $ABC$, το ύψος $AD$ ισούται με την πλευρά $BC$. 
Δείξετε ότι το ορθόκεντρο $H$ του τριγώνου ισαπέχει του μέσου $M$ του $AD$ και του μέσου $O$ του $BC$.

1 σχόλιο:

  1. Είναι BH^2+CH^2=BD^2+DH^2+CD^2+DH^2=BD^2+CD^2+2DH^2=BD^2+CD^2+2BD*CD-2BD*CD+2DH^2=(BD+CD)^2-2BD*CD+2DH^2=BC^2-2BD*CD+2DH^2. Η BH είναι κάθετη στην AC, επομένως γωνία DBH=π/2-(γωνία ACB)=π/2-(γωνία ACD)=γωνία CAD. Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα BDH και ACD είναι όμοια και ισχύει: BD/DH=AD/CD, ή BD*CD=AD*DH. Επίσης BC=AD, οπότε BH^2+CH^2=(2BC^2)/2-2AD*DH+2DH^2=(BC^2+AD^2)/2-2AD*DH+2DH^2=(BC^2)/2+(AD^2)/2-2AD*DH+2DH^2=(BC^2)/2+2[(AD^2)/4-2(AD/2)*DH+DH^2]=(BC^2)/2+2(AD/2-DH)^2=(BC^2)/2+2(DM-DH)^2=(BC^2)/2+2HM^2, δηλαδή BH^2+CH^2=(BC^2)/2+2HM^2 (1). Όμως από το θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο BCH ισχύει ότι BH^2+CH^2=(BC^2)/2+2HO^2 (2). Από τις (1) και (2) προκύπτει τελικά ότι HM=HO, που είναι και το ζητούμενο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή