Άσκηση Γεωμετρίας (προταθείσα από Φώτη Κότσιρα)

Ας μου επιτραπεί να αλλάξω τα γράμματα αλλά όχι την ουσία.

Έχουμε λοιπόν ένα ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(A = {90^0})$ για τα μήκη των πλευρών του $a = BC,c = AB$ ισχύει: 

 $3{a^2} - 2ac - 5{c^2} = 0$. 

Αν $D$ το έγκεντρο και $E$ το βαρύκεντρο του τριγώνου $ABC$ να δείξουμε ότι $DE \bot AB$.

εδώ

Λύση

Η σχέση που δόθηκε γράφεται ισοδύναμα : $(5c - 3a)(c + a) = 0 \Rightarrow c = \dfrac{{3a}}{5}\,\,\,(1)$

Ας πούμε λοιπόν $a = 15k,k > 0$ άρα $c = 9k\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,b = AC = 12k$ ( αφού είναι ορθογώνιο) . Δηλαδή το  τρίγωνο είναι της μορφής ,ως προς τις πλευρές του $(5,3,4)$.

Αν ο εγγεγραμμένο κύκλος του $ABC$ εφάπτεται στην πλευρά $AC$ στο σημείο $Z$ είναι γνωστό ότι η ακτίνα του $r = DZ = s - a$, όπου  $s$= ημιπερίμετρος του $ABC$.

Θα είναι  λοιπόν : $DZ = 3k\,\,\,(2)$. Έστω τώρα  $H$  η προβολή του $E$ στην $AC$.

Προφανώς τα ορθογώνια τρίγωνα $ABC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,HEA$ είναι όμοια αφού οι οξείες γωνίες τους $A\widehat CB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,E\widehat AH$ είναι ίσες ως παρά τη βάση του ισοσκελούς τριγώνου $MAC$

( μην ξεχνάμε ότι η διάμεσος προς την υποτείνουσα ισούται με το μισό της )

Από την ομοιότητα λοιπόν,  των τριγώνων $ABC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,HEA$ έχουμε :

$\dfrac{{EH}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{BC}} \Rightarrow \dfrac{{EH}}{{9k}} = \dfrac{{5k}}{{15k}} \Rightarrow EH = 3k\,\,(3)$. Από τις $(2)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,(3)$ προκύπτει ότι το

τετράπλευρο $EDZH$ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και άρα $DE//AC$ , συνεπώς  $DE \bot AB$.

Νίκος Φραγκάκης (Doloros) 2^ο Λύκειο Ιεράπετρας

Αφιέρωση στον Φώτη

Αν έχει κάτι πιο γρήγορα να το δούμε .

Αφού βρούμε ότι $c = \dfrac{3}{5}a$ έστω : $a = 5k,b = 4k,c = 3k$ . Φέρνουμε την διχοτόμο $BS$ και τη διάμεσο $BM$. Προφανώς $BE = 2EM\,\,\,(1)$. Από το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο $ABC$έχουμε :$x = AS = \dfrac{{AC \cdot AB}}{{AB + BC}} = \dfrac{{4k \cdot 3k}}{{3k + 5k}} = \dfrac{3}{2}k\,\,(2)$. Από το ίδιο θεώρημα στο τρίγωνο $ABS$ έχουμε: $\dfrac{{BD}}{{DS}} = \dfrac{{AB}}{{AS}} = \dfrac{{3k}}{{\dfrac{{3k}}{2}}} = 2 \Rightarrow BD = 2DS\,\,\,(3)$. Από $(1)$ και $(3)$ έχουμε αυτό που θέλουμε.

Να προσθέσουμε ακόμη ότι η πρόταση ισχύει εν γένει ως εξής :

Αν σε τρίγωνο $ABC$ οι πλευρές του $a,b,c$ με την σειρά αυτή, 

είναι  διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε η ευθεία που διέρχεται από το έγκεντρο και το βαρύκεντρο του $ABC$, είναι παράλληλη στην $AC$.