Τετάρτη 9 Απριλίου 2014

Μέγιστο εμβαδόν

Ένα παραλληλόγραμμο και σημείο $Ρ$ στο εσωτερικό του, τέτοιο ώστε οι αποστάσεις από τις κορυφές του να είναι $1, 4, 7, 8$.  
Ποιο είναι το μέγιστο εμβαδόν αυτού του παραλληλογράμμου;
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Αναρτήθηκε από στις 9.4.14
Ετικέτες , ,

10 σχόλια:

  1. Doloros10 Απριλίου 2014 στις 2:18 μ.μ.

    Με κάποια επιφύλαξη το ζητούμενο αποτέλεσμα είναι :

    ${(ABCD)_{\max }} = \dfrac{{\sqrt {3135} + \sqrt {255} }}{2} \simeq 35,97989506\,\,\tau .\,\mu o\nu \alpha \delta \varepsilon \varsigma $.

    Αργότερα λεπτομέρειες.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. halb Wesen halb Ding10 Απριλίου 2014 στις 4:00 μ.μ.

    Αντιμετωπίζοντάς το ως πρόβλημα βελτιστοποίησης, προέκυψε μέγιστο εμβαδόν = 36 τ.μον. και το παραλληλόγραμμο να είναι ορθογώνιο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. swt10 Απριλίου 2014 στις 6:59 μ.μ.

    $20 \sqrt{3}$;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. RIZOPOULOS GEORGIOS10 Απριλίου 2014 στις 7:30 μ.μ.

    Το μέγιστο εμβαδό αντιστοιχεί στο μέγιστο εμβαδό τετραπλεύρου με πλευρές $1,4,7 και 8$.
    Το εμβαδό αυτό μεγιστοποιείται για εγγράψιμο (αυτό που το περιγράφει ένας κύκλος! O κύκλος ΕΞΩ από το τετράπλευρο και να εφάπτεται σε ολες τις πλευρές δηλαδή!) τετράπλευρο.
    Τότε ισχύει ο τύπος του Βραχμαγκούπτα για το εμβαδό:
    $E=2 \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} $ =
    $2 \sqrt{(10-1)(10-4)(10-7)(10-8)} =36$
    YΓ. s=ημιπερίμετρος = (1+4+7+8)/2=10

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. RIZOPOULOS GEORGIOS10 Απριλίου 2014 στις 7:33 μ.μ.

      Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

      Διαγραφή
    2. RIZOPOULOS GEORGIOS10 Απριλίου 2014 στις 7:56 μ.μ.

      Διόρθωση 1η:
      To μέγιστο εμβαδό αντιστοιχεί στο ΔΙΠΛΑΣΙΟ του μεγίστου εμβαδού τετραπλεύρου με πλευρές 1,4,7,8.
      Παλίότερη ανάρτηση γι'αυτό:
      http://eisatopon.blogspot.com/2013/07/blog-post_975.html
      (ΥΓ. oυδεμία ευθύνη φέρει ο γράφων,για τυχόν ορθογραφικά ,γραμματικά ,συντακτικά λάθη του RIZOPOULOS GEORGIOS. oύτε για τα λάθη του σε φορολογικές δηλώσεις)
      Διόρθωση 2η:
      "O κύκλος ΕΞΩ από το τετράπλευρο και να εφάπτεται σε ολες τις KOΡΥΦΕΣ δηλαδή!" (για όνομα δηλαδή!...άκου πλευρές! ματιασμένος είμαι να με ζμπαθάτε!)

      Διαγραφή
    3. halb Wesen halb Ding10 Απριλίου 2014 στις 8:58 μ.μ.

      Πολύ ενδιαφέρον. Γιατί όμως αντιστοιχεί στο διπλάσιο του μεγίστου εμβαδού τετραπλεύρου με πλευρές 1,4,7,8; Μπορείτε να το εξηγήσετε (για τους πιο αδαείς) ή να μας δώσετε κάποια παραπομπή;

      Διαγραφή
    4. Doloros10 Απριλίου 2014 στις 9:37 μ.μ.

      Αυτό είναι εύκολο αρκεί από το $P$ να φέρουμε παράλληλες προς τις πλευρές του παραλληλογράμμου .
      Τώρα σε ότι αφορά το αποτέλεσμα :
      Καλώς είχα την επιφύλαξη .
      Εχει γίνει κατασκευή με κανόνα και διαβήτη του σχετικού παραλληλογράμμου στηριζόμενος στην κατασκευή που περιγράφει πολύ σωστά ο κ. Ριζόπουλος .
      Επειδή όμως το τετράπλευρο που κατασκεύασα δεν ήταν εγγράψιμο προέκυψε το αποτέλεσμα ( λανθασμένο) με τους άρρητους .

      Θα προσπαθήσω να δώσω ( κατασκευαστικά ) τον μετασχηματισμό του τετραπλεύρου με πλευρές $,1,4,7,8$ σε ισοδύναμο εγγράψιμο δικαιώνοντας το κ, Ριζόπουλο 1000% που άθελά μου στενοχώρησα σε άλλη ανάρτηση και του ζητώ ειλικρινώς συγνώμη.

      Διαγραφή
    5. RIZOPOULOS GEORGIOS10 Απριλίου 2014 στις 9:38 μ.μ.

      Φίλτατε Χαλμπ βέσεν χαλμπ ντινγκ (aber welch einer Vorname! :-) ), μπορείς να το δεις εποπτικά ως εξής:
      Κάνε copy στο τρίγωνο ΑΒP και κάντο paste δεξιά ,ταυτίζοντας δηλαδή την πλευρά DC με την ΑΒ (DC=AB)
      Πάρε και το μικρό τριγωνάκι APD και κόλλησέ το από πάνω (κολλώντας ΑD και ΒC)
      Δεξιά έχεις δημιουργήσει ένα τετράπλευρο PCP'D (έστω P' to kaiνούργιο σημείο που ορίζει το τριγωνο DCP' =APB)
      Aν πετύχεις το σχήμα, θα δεις πως προκύπτει φυσικά το ότι:
      Eμβαδό εξαγώνου PDP'CP''B=2* PCP'D (έστω P'' το σημείο πάνω και έξω που ορίζεται από το τριγωνάκι ΒCP"=ADP)
      To τετράπλευρο PCP'D έχει πλευρές 1,4,7,8 . είναι εγγράψιμο, κ.λ.π.

      Διαγραφή
    6. halb Wesen halb Ding10 Απριλίου 2014 στις 11:11 μ.μ.

      Ουάου! Ευχαριστώ. Το έφτιαξα με geogebra, κι έτσι πέτυχε το σχήμα :-)
      (Απορία: Κάτι τέτοια εσείς οι μαθηματικοί τα αντιλαμβάνεστε έτσι χαλαρά με τη πρώτη; )

      Διαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)