Πέμπτη, 6 Φεβρουαρίου 2014

Oρθογώνιο κουτί

Ένα  ορθογώνιο κουτί περιέχει μια σφαίρα ακτίνας $2$ και οκτώ μικρότερες σφαίρες ακτίνας $1$. 
Εισάγουμε τρεις? στερεά εισαγωγής? πραγματικό h = 2 +2 * sqrt (7)? currentprojection = ορθογραφική ((0.75, -5, h / 2 +1), target = (2,2, h / 2))? currentlight = l ...
Οι μικρότερες σφαίρες εφάπτονται η κάθε μία σε τρεις πλευρές του κουτιού, και η μεγαλύτερη σφαίρα εφάπτεται σε κάθε μία από τις μικρότερες σφαίρες. Να βρεθεί ο αριθμός $h$.
USA AMC 12/AHSME 2014

1 σχόλιο:

  1. Ακτίνα μεγάλης σφαίρας R=2 και μικρών r=1
    Έστω Ο το κέντρο της μεγάλης σφαίρας και Ο1,Ο2,Ο3,Ο4 τα κέντρα των 4 πάνω μικρών εφαπτόμενων σφαιρών.
    $O_{1} O_{2}=2$, $O_{2} O_{3}=2$=>

    $ (O_{1} O_{3}) ^{2}= ( O_{1} O_{2}) ^{2}+ (O_{2} O_{3}) ^{2}=4+4=2 \times 4$
    => $ (O_{1} O_{3}) =2 \sqrt{2}$
    Θεωρώ την κατακόρυφη ευθεία που διέρχεται
    από το Ο και τέμνει την Ο1Ο3 στο μέσον της Μ,
    άρα $ (O_{1} M) = \sqrt{2}$ και $ (OO_{1}) =R+r=2+1=3$
    Το τρίγωνο ΟΜΟ1 είναι ορθογώνιο, άρα
    $(0M)^{2}+(O_{1} M)^{2}=(OO_{1})^{2}$=>
    $(0M)^{2}=(OO_{1})^{2}-(O_{1} M)^{2}=9-2=7$ =>
    $OM= \sqrt{7}=2.64575...$
    Άρα $ \frac{h}{2}=2.64575...+1=3.64575...$ =>
    $h=2 \times 3.64575...=7.2915...$

    ΑπάντησηΔιαγραφή