Κυριακή, 2 Φεβρουαρίου 2014

Μεταβλητός εγγεγραμμένος

Δίδονται σταθερή ημιευθεία $Bx$ και σταθερό σημείο $A$ εκτός αυτής.
Μεταβλητός σημείο $S$ διατρέχει την $Bx$. Γράφουμε τον εγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $ABS$ που εφάπτεται της $BS$ στο σημείο $D$ και της $AS$ στο σημείο $E$. Να δειχθεί ότι η ευθεία $DE$ διέρχεται από σταθερό σημείο.

8 σχόλια:

  1. Στην ημιευθεία $B \chi$ έστω σημείο $C $ ώστε $BC=BA $
    Φέρνω την $AC$ η οποία τέμνει τον κύκλο έστω $O$ στα σημεία $K$ και $L$ και έστω $M$ το μέσον της $KL$ και φυσικά της $AC$.
    Tα σημεία $B,O,M$ είναι συνευθειακά και η $BOM $ κάθετη
    στην $AC$ (διχοτόμος ισοσκελούς τριγώνου, άρα και διάμεσος και ύψος ταυτόχρονα.)
    Θα αποδείξω ότι τα σημεία $D,E,M$ είναι συνευθειακά, άρα η $DE$ διέρχεται από σταθερό σημείο, το $M$.
    Εξετάζω το τετράπλευρο $AOCS$ως προς την εγγραψιμότητα του σε κύκλο για να κάνω χρήση της ευθείας Simson
    $ \widehat{OCS}=180o- \widehat{OSB}=180o- \widehat{OAB}=180o- \widehat{OAS} $=>
    $ \widehat{OCS}+ \widehat{OAS}=180o$, άρα $AOCS$ εγγράψιμο σε κύκλο.

    Επειδή τα σημεία $D,E,M$ προβολές του σημείου $O$
    στις πλευρές $CS,AS,AC$ αντίστοιχα του τριγώνου $ACS$
    τα σημεία $D,E,M$ είναι συνευθειακά (ευθεία Simson).
    Άρα η $DE$ διέρχεται από σταθερό σημείο, το $M$, μέσον της $AC$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Διόρθωση πληκτρολογικού λάθους
    $\widehat{OCS}=180o- \widehat{OCB}=180o- \widehat{OAB}=180o- \widehat{OAS}$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Γεια σας κ. Ευθυμίου κι ευχαριστώ.
    Οι μοίρες μπαίνουν σαν εκθέτης αν γράψουμε :
    τον αριθμό και μετά πατημένο το αριστερό Alt και πληκτρολογούμε 0176..
    π.χ. 45°

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Γειά σας κ. Φραγκάκη
    Ευχαριστώ για την χρήσιμη πληροφορία-πληκτρολόγηση.

    Με εκτίμηση
    Αλεξίου, Ευθύμης Αλεξίου

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Διόρθωση και του LATEX-ικού λάθους (μη γνώση)
    $\widehat{OCS}=180°- \widehat{OCB}=180°- \widehat{OAB}=180°- \widehat{OAS}$ =>
    $ \widehat{OCS}+ \widehat{OAS}=180°$, άρα $AOCS$ εγγράψιμο σε κύκλο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Αυτό το πρόβλημα λύνεται και με τη χρήση θεωρήματος δέσμης. Στο τρίγωνο ABS θεωρούμε το ύψος του AC, το κέντρο F του εγγεγραμμένου κύκλου του ορθογωνίου τριγώνου ABC και τις προβολές G,H του F στις AC και BC, αντίστοιχα. Η προέκταση του τμήματος FG τέμνει την DE στο I. Αποδεικνύεται ότι FG/GI=BH/DH, οπότε η διχοτόμος της γωνίας ABS, η σταθερή ευθεία GH και η ευθεία DE διέρχονται από το ίδιο σημείο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Πολύ ωραία η λύση του κυρίου Αλεξίου, πρέπει να πω.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. Να προτείνω μια ενδιαφέρουσα άσκηση προς επίλυση; Να αποδειχθεί ότι η ευθεία Steiner που αντιστοιχεί σε τυχαίο σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου ΑΒΓ διέρχεται από σταθερό σημείο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή