Σάββατο, 8 Φεβρουαρίου 2014

Νουμερομεζέδες

"...donde viven las manolas ,las que se van a la Alhambra, las tres y las quatro solas"
Φεντερίκο Γκαρθία Λόρκα (Granada)
1. Μπορούν τα 16 ψηφία: 2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9 να σχηματίσουν δύο οχταψήφιους αριθμούς $Α$ και $Β$ ,τέτοιους ώστε να ισχύει: $B=2A$ ;
2. Χωρίς να βρείτε ποια είναι τα ψηφία του αριθμού $5 \times 7^{34}$ ,αποδείξτε πως κάποιο από αυτά τα ψηφία επαναλαμβάνεται τουλάχιστον 4 φορές.

5 σχόλια:

  1. 2. Επιλύοντας λογαριθμικά την εξίσωση 5*7^34 = 10^χ βρίσκουμε ότι χ=29,43.. που δείχνει ότι ο αριθμός μας είναι 30-ψήφιος στη δεκαδική του παράσταση.
    Για να μην επαναλαμβάνεται κάποιο ψηφίο του 4 ή περισσότερες φορές θα έπρεπε καθένα από τα 10 ψηφία, 0 έως 9, να εμφανίζεται 3 ακριβώς φορές. Τότε όμως το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού θα ήταν 135, δηλαδή πολλαπλάσιο του 9, άρα και ο ίδιος ο αριθμός θα έπρεπε να είναι πολλαπλάσιος του 9. Αυτό όμως δεν προκύπτει από την παραγοντική του ανάλυση, άρα ένα τουλάχιστον ψηφίο του θα εμφανίζεται 4 τουλάχιστον φορές.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Σαφής και σωστός (ως συνήθως) ο papadim!
      Θα μπορούσε κάποιος να αναρωτηθεί πώς θα βρει κανείς τον
      $\log_{10} (5 \times 7^{34}) $ χωρίς να χρησιμοποιήσει τον ίδιο τον τεράστιο αριθμό.
      Υπάρχει η ταυτότητα:
      $\log_{10} (5 \times 7^{34}) $ =
      = $\frac{ \log_{10}( 5)+34 \log_{10} (7) }{ \log_{10} (10)}$ που δίνει όντως $29,432303..$
      Και μια φιλική παρατήρηση /κίτρινη κάρτα για "υπερβάλοντα ζήλο" Θανάση. :-)
      Δεν χρειαζόταν να υπολογίσεις το άθροισμα των ψηφίων . Αφού κάθε ψηφίο από τα 10 θα εμφανιζόταν 3 φορές ,ο αριθμός θα ήταν έτσι κι αλλιώς πολ/σιο του 3 . Αλλά το 3 (όπως και το δικό σου 9) δεν είναι προφανώς πρώτος παράγοντας του $5*7^{34}$ ,που με την ευκαιρία κάνει:
      $270584780189760558344798304245$ Bλέπουμε πως κάποια ψηφία μάλιστα (το 4 και το 8) εμφανίζονται $5$ φορές! :-)

      Διαγραφή
  2. Γιώργο, ευχαριστώ, αλλά δε χρειάζονται δα και περισπούδαστες αναλύσεις για τη λογαριθμική επίλυση της εκθετικής εξίσωσης μέσω της μετατροπής της σε απλή πρωτοβάθμια. Απλή χρήση βασικών ιδιοτήτων των λογαρίθμων.
    Θα σου ανταποδώσω τη φιλική παρατήρηση με μια δική μου: Μη μοιράζεις με τόση ευκολία τις κίτρινες, γιατί στην επόμενη που θα πάρω αποβάλλομαι με κόκκινη και να δω μετά πού θα βρεις παίκτη να γίνει παιχνίδι :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. 1. Το άθροισμα των 2 αριθμών θα έπρεπε να διαιρείται με το 3, ενώ το άθροισμα των ψηφίων των αριθμών είναι 88 και δεν διαιρείται με το 3. Άτοπο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Σωτήρη. Λακωνικός, περιεκτικός, ολόσωστος! :-)

      Διαγραφή