Πέμπτη, 6 Φεβρουαρίου 2014

Ο κ. Μάριος ο μαθηματικός

Ο κύριος Μάριος είναι συνταξιούχος Μαθηματικός και έχει τρία παιδιά, τον Σάββα, τον Ανδρέα και την Μαρία. Για τις ηλικίες των παιδιών του παρατήρησε τα εξής: 
- Η Μαρία είναι το μεσαίο παιδί και η μητέρα της φρόντιζε κάθε φορά στην επέτειο των γενεθλίων της να της έχει μια τούρτα με τόσα κεράκια όσα ήταν η ηλικία της εκείνη την χρονιά. Ο κύριος Μάριος θυμάται, ότι η Μαρία από όλα μαζί τα κεράκια που τοποθετήθηκαν στις τούρτες των τριών πρώτων επετείων των γενεθλίων της, κατάφερε να σβήσει με το πρώτο φύσημα, συνολικά το $50$ % των κεριών.
Από την $4$η επέτειο μέχρι και την τελευταία που ήταν χθες, καταφέρνει να σβήνει όλα τα κεράκια της τούρτας της με ένα φύσημα. Ο κύριος Μάριος μέτρησε όλα τα κεράκια που έσβησε η Μαρία μέχρι σήμερα και βρήκε συνολικά $900$ . 
Η σημερινή ηλικία του Σάββα είναι μεταξύ $30$ και $40$ χρονών, του Ανδρέα μεταξύ $40$ και $50$ χρονών και το γινόμενο των ηλικιών τους είναι τέλειος κύβος θετικού ακεραίου.( Για παράδειγμα το $64$ είναι τέλειος κύβος γιατί $4^3 = 64$) 
Να βρείτε τις σημερινές ηλικίες των παιδιών του κυρίου Μάριου.
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΔΡΟΜΙΑ 2014

7 σχόλια:

  1. Έστω x έτη η ηλικία της Μαρίας. Τις 3 πρώτες επετείους των γενεθλίων της υπήρξαν συνολικά στις τούρτες κεράκια των οποίων το πλήθος ήταν 1+2+3=6. Από αυτά η Μαρία έσβησε το 50%, δηλαδή τα 3. Επομένως τις επόμενες επετείους μέχρι και την τελευταία τα κεράκια που σβήστηκαν ήταν 900-3=897. Όμως αυτός ο αριθμός αποτελεί το άθροισμα διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου με αρχικό όρο 4, διαφορά 1 και τελικό όρο το x: x(x+1)/2=1+2+3+897, ή x(x+1)/2=903, ή x*(x+1)=1806, ή x^2+x=1806, ή x^2+x-1806=0. Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι Δ=1-4(-1806)=1+7224=7225, οπότε αυτό έχει ρίζα x=[-1+7225^(1/2)]/2=(-1+85)/2=84/2=42. Η άλλη ρίζα είναι αρνητική και απορρίπτεται. Άρα η ηλικία της Μαρίας είναι 42 έτη. Για τις ηλικίες των 2 άλλων παιδιών εργαζόμαστε ως εξής: Η ελάχιστη τιμή του γινομένου των ηλικιών τους είναι 30*40=1200 και η μέγιστη 40*50=2000. Είναι 10<1200^(1/3)<11 και 12<2000^(1/3)<13. Εάν λοιπόν ανάμεσα στο 1200 και το 2000 υπάρχει αριθμός που να είναι τέλειος κύβος θετικού ακεραίου, αυτός ο ακέραιος θα είναι είτε το 11, είτε το 12. Όμως ο 11^3 δεν έχει διψήφιο διαιρέτη εκτός από το 11, διότι ο 11 είναι πρώτος. Άρα απομένει ο 12, οπότε το ζητούμενο γινόμενο είναι το 12^3=(2^2*3)^3=2^6*3^3=(2^2*3^2)*(2^4*3)=(4*9)*(16*3)=36*48, απ' όπου προκύπτει κατευθείαν ότι η ηλικία του Σάββα είναι 36 χρονών και η ηλικία του Ανδρέα 48 έτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Εξαιρετική η προσέγγιση του Φώτη ,όντως!
    Για νά'μαι ειλικρινής, εγώ μπερδεύτηκα από την εκφώνηση αυτού του προβλήματος και μού φάνηκε πανδύσκολο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Δείτε και την επίλυση εκ μέρους μου των γεωμετρικών προβλημάτων με τη συμμετροδιάμεσο και το εμβαδόν τριγώνου με τις εξωτερικές διχοτόμους.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Φώτη, δώσε σε link τις αναρτήσεις που λες.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Τρίτη, 17 Δεκεμβρίου 2013: Γεωμετρικός τόπος. Πέμπτη, 12 Δεκεμβρίου 2013: Ορθογώνιο και εξωτερικές διχοτόμοι. Τρίτη, 3 Δεκεμβρίου 2013: Παραλληλόγραμμο και καθετότητα. Παρασκευή, 19 Ιουλίου 2013: Γεωμετρία-Άσκηση 642.

    ΑπάντησηΔιαγραφή