Πέμπτη, 6 Φεβρουαρίου 2014

Οκτώ χορδές

Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός επιφανειών που μπορούν οκτώ χορδές να διαιρέσουν έναν κύκλο;

10 σχόλια:

  1. Αγαπητέ κύριε Ρωμανίδη η εκφώνηση είναι απόλυτα ασαφής, ώστε να απαντηθεί ένα φαινομενικά εύκολο γεωμετρικό πρόβλημα. Δεν είναι από την εκφώνηση αποσαφηνισμένο, αν για την επίλυση του προβλήματος θα χρησιμοποιήσουμε έναν διαβήτη και έναν αβαθμολόγητο χάρακα (κανόνα) που είναι και τα εργαλεία των γεωμετρικών κατασκευών.
    Από την ζητούμενη αποσαφήνιση εξαρτάται και το (ζητούμενο) πλήθος των επιφανειών.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. 8 χορδές χωρίζουν την επιφάνεια του κύκλου σε 37 περιοχές κατά μέγιστο.
    Ο μέγιστος αριθμός προϋποθέτει ότι όλες οι χορδές τέμνονται μεταξύ τους στο εσωτερικό του κύκλου, αλλά σε διαφορετικά σημεία ανά δύο.
    Η απάντηση προκύπτει επαγωγικά:
    2 χορδές που τέμνονται χωρίζουν τον κύκλο σε 4 περιοχές.
    Μια 3η χορδή, που τέμνει σε διαφορετικά σημεία τις 2 προηγούμενες, χωρίζεται η ίδια σε 3 ευθύγραμμα τμήματα και συνεπώς προσθέτει στις 4 προϋπάρχουσες, άλλες 3 περιοχές. Συνολικά ως εδώ 7 περιοχές.
    Μια 4η χορδή που τέμνει σε διαφορετικά σημεία τις 3 προηγούμενες, χωρίζεται η ίδια σε 4 ευθύγραμμα τμήματα και συνεπώς προσθέτει στις 7 προϋπάρχουσες, άλλες 4 περιοχές. Συνολικά ως εδώ 11 περιοχές.
    κ.ο.κ.
    Επομένως, όπως φαίνεται από την πιο πάνω επαγωγική διαδικασία, αν ο μέγιστος αριθμός των περιοχών που ορίζουν ν χορδές είναι Α(ν), ισχύει η αναδρομική σχέση Α(ν) = Α(ν-1) + ν, από την οποία προκύπτει η γενική σχέση Α(ν) = 1+ ν*(ν+1)/2.
    Για ν=8 έχουμε Α(8) = 37.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Διευκρίνιση
      Προσπάθησα να αντιμετωπίσω το πρόβλημα όχι σε αυστηρά μαθηματικό, αλλά σε καθαρά πρακτικό πλαίσιο: σκέφτηκα σε πόσα το πολύ κομμάτια θα μπορούσα να χωρίσω μια πίτσα με 8 μόνο κοψίματα από άκρη σε άκρη.

      Διαγραφή
    2. Μία πίτσα μπορείτε να την χωρίσετε με ένα μαχαίρι (χορδή) μόνο σε 2 κομμάτια. Τα 2 κομμάτια στη συνέχεια μπορείτε σε 4 κ.τ.λ. Δεκτή όμως προς εξέταση και η αυστηρά μαθηματική σας αντιμετώπιση του προβλήματος, διότι αποκτά ενδιαφέρον.

      Διαγραφή
    3. Σωστά, κατά σειρά κοψιμάτων, έτσι ακριβώς προκύπτει ο διαδοχικά αυξανόμενος αριθμός των κομματιών. Έτσι προσπάθησα να το περιγράψω και στο αρχικό μου σχόλιο. Ευχαριστώ και ελπίζω να συμφωνούμε ότι στο τέλος θα έχουμε 37 κομμάτια πίτσας.

      Διαγραφή
    4. Με τα μαθηματικά μέσα μετράμε αυτό που λέμε χρόνο και στην ουσία της έννοιας υποκτύπτεται η μνήμη, Ο ίδιος ο χρόνος όμως δεν συμμετέχει στα μαθηματικά υπό την έννοια του επηρεασμού των μαθηματικών πράξεων. Ο διαδοχικά αυξανόμενος αριθμός, είναι αποτέλεσμα των διαδοχικών πράξεων. Μετά την πρώτη τομή (χορδή) η πίτσα (κύκλος) είναι παρελθόν και δεν τέμνεται πλέον. Επομένως τα παράγωγα δεν είναι του κύκλου αλλά των εκάστοτε μερών του κύκλου. Κανείς δεν μπορεί να τμήσει το παρελθον. Δεν είναι λοιπόν το θέμα το τελικό αποτέλεσμα των διαδοχικών πράξεων, αλλά το ότι τα όσα μέρη (δεν θα διαφωνήσω στο πλήθος) δεν είναι εκ του κύκλου (κατά την εκφώνηση) αλλά εκ των μερών του κύκλου καθώς άλλη η έννοια του κύκλου και άλλη των μερών εκ του κύκλου. Ελπίζω κι εσείς να συμφωνείτε ότι ο κύκλος μπορεί να μεριστεί αποκλειστικά και μόνο σε 2 μέρη - όπως υποστηρίζω - διότι η δεύτερη χορδή δεν τέμνει πλέον κύκλο.

      Διαγραφή
    5. Πολύ συζήτηση περί πίτσας βλέπω. Πλησιάζει και ο αγώνας στο Ολντ Τράφορντ εξάλλου...

      Διαγραφή
    6. Φώτη όπως βλέπεις έχει πολλά κομμάτια. Κάτσε στην παρέα μας...

      Διαγραφή
  3. Δεν είναι υποχρεωτικό να σκεφτόμαστε όλοι το ίδιο, μέσα στο ίδιο πάντα μαθηματικό πλαίσιο. Το πρόβλημα θεωρώ (αφού δεν γίνεται η αποσαφήνιση που ζήτησα) αφορά έναν κύκλο τον οποίο γράφουμε με διαβήτη στο επίπεδο και τις δυνατότητες που έχουμε να τον μερίσουμε με έναν κανόνα σε επιφάνειες.
    Η δυνατότητα μερισμού του κύκλου είναι να μοναδική. Ήτοι, ο κύκλος μερίζεται μόνο σε δύο επιφάνειες με ταυτόχρονη αδυναμία επαλήθευσης της πράξης, με βάσιμη αιτιολογία ότι δεν προβλέπονται ενώσεις σχημάτων στα Στοιχεία που θα επαληθεύσουν τον μερισμό.
    Μετά τον μερισμό του κύκλου σε δύο επιφάνειες δεν υφίσταται πλέον ο ένας κύκλος, ώστε να συνεχίσουμε να τον μερίζουμε, αλλά οι δύο από τον μερισμό του κύκλου επιφάνειες. Αυτές τις δύο επιφάνειες μπορούμε στη συνέχεια να τις μερίσουμε σε τέσσερις επιφάνειες κ.τ.λ.
    Ο κύκλος όμως με τον κανόνα μερίζεται μόνο σε δύο επιφάνειες.
    Εδώ προκύπτει το νέο διττό πρόβλημα επί διαφορετικών συστημάτων:
    Α. Στον Ευκλείδη, ένας κύκλος με μία χορδή να τον μερίζει σε δύο επιφάνειες είναι ίδιος ακριβώς με έναν κύκλο που δεν τον μερίζει καμία χορδή; Ποιος είναι ο πραγματικός κύκλος;
    Β. Στη θεωρία συνόλων πάλι, ο ακέραιος κύκλος και ο μερισμένος, είναι ισοδύναμα σημειοσύνολα (σχήματα); Αν δεν είναι, ο κύκλος έχει τελειώσει την συμμετοχή του στους μερισμούς (κατά την εκφώνηση του προβλήματος πάντα) μετά την πρώτη χορδή.
    Απαντώντας στα δύο αυτά προβλήματα, αποδεικνύεται ότι ένας κύκλος (κατά το πρόβλημα) μερίζεται αποκλειστικά και μόνο σε δύο επιφάνειες, εκτός και ο μερισμένος κύκλος με στήριξη του όποιου αξιώματος μπορεί κάποιος να βρει, δεν διαφέρει από τον μερισμένο ίδιο ή ίσο του κύκλο.
    Αυτά δεν αποτελούν λεπτομέρειες, εκτός και έτσι επιθυμείτε να τις εκλάβετε…
    Υγεία.

    ΑπάντησηΔιαγραφή