Τρίτη, 11 Φεβρουαρίου 2014

Περιττά τετράγωνα

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ένα τετράγωνο διαστάσεων $7×7$ που μέσα στα μοναδιαία του μικρά $1 ×1$ τετράγωνα είναι σημειωμένοι οι αριθμοί από το $1$ έως $49$ με αύξουσα σειρά. 
Ονομάζουμε ένα τετράγωνο του μεγάλου τετραγώνου περιττό, αν το άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται μέσα σε αυτό είναι περιττός αριθμός. 
Παραδείγματα:
α) Το αρχικό μεγάλο τετράγωνο είναι περιττό γιατί το άθροισμα όλων των αριθμών από το $1$ έως και το $49$ είναι $1225$. 
β) Το παρακάτω $3×3$ τετράγωνο είναι περιττό γιατί 
$1 + 2 + 3 + 8 + 9 + 10 + 15 + 16 + 17 = 81$ 
που είναι περιττός αριθμός. 
Να υπολογίσετε το πλήθος όλων των περιττών τετραγώνων που υπάρχουν στο αρχικό σχήμα.
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΔΡΟΜΙΑ 2014

2 σχόλια:

  1. Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί εναλάσονται περιττός, άρτιος, περιττός,.... ή άρτιος, περιττός, άρτιος,...
    Τα τετράγωνα που δημιουργούνται από άρτιο αριθμό μοναδιαίων τετραγώνων (δηλαδή τα τετράγωνα 2χ2, 4χ4, 6χ6) έχουν άρτιο πλήθος περιττών αριθμών και άρτιο πλήθος άρτιων αριθμών, συνεπώς οι αριθμοί που βρίσκονται μέσα σε αυτά έχουν άρτιο άθροισμα και αποκλείονται.

    Εξετάζουμε τα τετράγωνα που δημιουργούνται από περιττό αριθμό μοναδιαίων τετραγώνων.

    1μον.*1μον. Υπάρχουν 25. (Τα 1,3,5,....47.49)

    3*3 =9 μον. τετράγωνα Σύνολο 3*3 τετραγώνων = 5*5=25 τετρ.
    Από αυτά όμως μόνο όσων το κεντρικό τετράγωνο έχει περιττό αριθμό είναι περιττά τετράγωνα.
    Δηλαδή τα τετράγωνα που το κεντρικό περιέχει τους αριθμούς 9,11,13,17,19,23,25,27,31,33,37,39,41
    Άρα 13 περιττά τετράγωνα

    5*5=25 μον. τετράγωνα. Σύνολο 5*5 τετραγώνων=3*3=9 τετρ.
    Από αυτά όμως μόνο όσων το κεντρικό τετράγωνο έχει περιττό αριθμό είναι περιττά τετράγωνα.
    Δηλαδή τα τετράγωνα που το κεντρικό περιέχει τους αριθμούς 17,19,25,31,33
    Άρα 5 περιττά τετράγωνα

    7*7 Ένα (1) (με το κεντρικό να περιέχει τον αριθμό 25)

    Άρα σύνολο περιττών τετραγώνων που υπάρχουν στο σχήμα:
    25+13+5+1= 44

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Κάποιες παραπομπές σχετικές με το αριθμοθεωρητικό υπόβαθρο του ενδιαφέροντος θέματος:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Centered_square_number
    http://oeis.org/search?q=1%2C5%2C13%2C25%2C&language=english&go=Search

    Ξεκινώντας από το 25 στο κέντρο ,προσθέτουμε τον πληθάριθμο των περιβαλλόντων τετραγώνων ...μέχρι το άπειρο
    1 . 5, 13, 25, 41, 61, 85... όλοι $1mod4$

    ΑπάντησηΔιαγραφή