Σάββατο, 1 Φεβρουαρίου 2014

Μια απάντηση στο θέμα: Διαστάσεις του κ. Γ. Φραγκάκου

Στις πλευρές ορθογωνίου ABCD με ΑΒ=11 και AD=10 βρίσκονται οι κορυφές ενός άλλου ορθογωνίου EFGH του οποίου η κορυφή Ε βρίσκεται επί της AD και απέχει 4 μετρικές μονάδες από την κορυφή Α του αρχικού ορθογωνίου. 
26012014DA.ggb.png
Ποιες μπορεί να είναι οι διαστάσεις του EFGH;
Λύση
Στην πλευρά $BC$ θεωρούμε σημείο $G$, τέτοιο ώστε $CG = 4$. Ο κύκλος διαμέτρου $FG$τέμνει ( κατά ορθή φορά) τις $AB,CD$ στα σημεία $F,{F_1}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H,{H_1}$ , που είναι τα ζητούμενα αφού όλες οι γωνίες που βαίνουν σε ημικύκλιο είναι ορθές.
Οι μεσοπαράλληλες των απέναντι πλευρών του ορθογωνίου $ABCD$ είναι άξονες συμμετρίας αυτού και θα διέρχονται από το κέντρο $K$ που είναι και κέντρο του πιο πάνω κύκλου 
Αν ο κύκλος αυτός τέμνει τις $AD,BC$ στα $M,N$ αντίστοιχα, εύκολα και λόγω συμμετρίας έχουμε:
$AE = DM = BN = GC = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,EM = NG = 2\,\,$. 
Ας πούμε τώρα $AF = x \Rightarrow B{F_1} = x$ ( πάλι λόγω συμμετρίας ).
Επειδή $AE \cdot AM = AF \cdot A{F_1}$ ( δύναμη του $A$ ως προ του κύκλο ) θα προκύψει ή εξίσωση : $4 \cdot 6 = x(11 - x) \Leftrightarrow {x^2} - 11x + 24 = 0$ με λύσεις : $x = 3$ ή $x = 8$
Αν $x = 3$ το ορθογώνιο που προκύπτει $EFGH$ έχει διαστάσεις $5,10$ όπως εύκολα βρίσκουμε από το Π. Θ. στα τρίγωνα $AEF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BFG$ , ενώ αν $x = 8$ όμοια βρίσκουμε ότι το ορθογώνιο $A{F_1}G{H_1}$ έχει διαστάσεις 
 $E{F_1} = \sqrt {{4^2} + {8^2}} = 4\sqrt 5 \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E{H_1} = \sqrt {{6^2} + {3^2}} = 3\sqrt 5 $.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου