▪ Το Τρίγωνο του Pascal

Για το σχηματισμό του τριγώνου Pascal θέτουμε μία μονάδα (1) στο μέσον της 1ης γραμμής. Στη 2η γραμμή θέτουμε δύο  μονάδες μία αριστερά και μία δεξιά της προηγούμενης. Στην επόμενη θέτουμε πάλι δύο 1 μονάδες μία αριστερά της πρώτης και μία δεξιά της τελευταίας της προηγούμενης γραμμής, ενώ ανάμεσα από τις δύο μονάδες θέτουμε το άθροισμά τους. Συνεχίζουμε με αυτό τον τρόπο σχηματίζοντας κάθε φορά μία νέα γραμμή με ένα στοιχείο επιπλέον από την προηγούμενη. Το πρώτο και τελευταίο στοιχείο είναι μονάδες ενώ τα ενδιάμεσα στοιχεία είναι το άθροισμα των δύο στοιχείων της προηγούμενης γραμμής που βρίσκονται αριστερά και δεξιά του. Για παράδειγμα το 15 της έβδομης γραμμής του σχήματος ισούται με το άθροισμα των στοιχείων 5 και 10 της έκτης γραμμής.

Τα στοιχεία της (n+1)-στής γραμμής του τριγώνου Pascal ισούνται με τους συνδυασμούς των n πραγμάτων ανά k, για k=0, 1, 2, ..., n. Για παράδειγμα στην 7η γραμμή του τριγώνου Pascal έχουμε τα 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 διότι:

Δύο συνέπειες της προηγούμενης παρατήρησης:

Τα στοιχεία της (n+1)-στής γραμμής του τριγώνου Pascal δίνουν τους συντελεστές του διωνύμου

διότι

ή πιο αναλυτικά

Ο σχηματισμός του τριγώνου βασίζεται στη γνωστή ιδιότητα Pascal

Άλλες ιδιότητες:
1. Η πρώτη διαγώνιος του τριγώνου Pascal αποτελείται από τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, 4, ....
2. Η δεύτερη διαγώνιος του τριγώνου Pascal αποτελείται από τους λεγομένους τρίγωνους αριθμούς 1, 3, 6, 10, ... που η ονομασία τους οφείλεται στο άθροισμα των κορυφώντων τριγώνων της 0-κής, 1ης, 2ης κλπ γραμμής του σχήματος

3. Η τρίτη διαγώνιος του τριγώνου Pascal αποτελείται από τους λεγομένους τετραεδρικούς ή πυραμιδοειδείς αριθμούς 1, 4, 10, 20, 35, ... που η ονομασία τους οφείλεται στο άθροισμα των κορυφών των τετραέδρων της 0-κής, 1ης, 2ης κλπ σειράς του σχήματος, που πρέπει να το θεωρήσετε το ως προβολή σειράς τετραέδρων

4. Η ημι-διαγώνιος του τριγώνου Pascal (δηλ. από κάποιο στοιχείο στο αμέσω δεξιότερα του διαγωνίου του) αποτελείται από τους λεγομένους αριθμούς Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... που μετά τους πρώτους δύο (που είναι 1-δες) οι υπόλοιποι σχηματίζονται από το άθροισμα των δύο προηγουμένων τους. Αυτό φαίνεται στο σχήμα

Πηγή: ~cmoi