Παρασκευή, 17 Ιανουαρίου 2014

Digitomania

"$6accdae13eff7i3l9n4o4qrr4s8t12ux$".
Nεύτωνας (1676)
Χρησιμοποιώντας μόνο τα ψηφία $1$ , $3$ και $6$ μία φορά το καθένα ,και τις μεταθέσεις τους (βάζοντάς τα δηλαδή σε όποια σειρά θέλετε) βρείτε έναν αριθμό που να διαιρείται με το $7$ ,σε μια οποιαδήποτε βάση, όχι απαραίτητα στη δεκαδική. Για παράδειγμα, ο αριθμός $162$ δεν διαιρείται με το $7$ στο δεκαδικό σύστημα, διαιρείται όμως στο ενδεκαδικό ,αφού η γραφή/αριθμός $162$ αναπαριστά στη βάση $11$ τον δεκαδικό αριθμό:$1*11^2 + 6*11 + 2 = 189$ που διαιρείται με το $7$. $189/7 = 27$.

23 σχόλια:

  1. Το πρόβλημα αυτό έχει μια καθαρά αριθμοθεωρητική πλευρά και μια -ας την πούμε- κολπατζήδικη πλευρά. Είναι εμπνευσμένο από ένα πρόβλημα του μεγάλου προμπλεμίστα Σαμ Λόϋντ. Το ποια πλευρά του προβλήματος (η κολπατζήδικη ή η αριθμοθεωρητική) είναι του Λόϋντ και ποια δικιά μου ,θα αποκαλυφτεί στην πορεία... :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Νομίζω ότι για να υπάρξει λύση, πρέπει να γυρίσει ο κόσμος ανάποδα, μερικώς τουλάχιστον ;-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Σωτήρη, σωστός!
    Αλλά για να πάρεις full credit ,πρέπει να δείξεις γιατί δεν γίνεται να υπάρξει λύση με τον κόσμο ίσιο. :-) ;-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Δουλεύοντας με αριθμητική υπολοίπων, δείχνεται σχετικά εύκολα ότι ισχύουν τα ακόλουθα:
    Για βάση 0 mod7, τα δυνατά αποτελέσματα είναι 1,3,6 mod7.
    Για βάση 1 mod7, το αποτέλεσμα είναι πάντα 3 mod7.
    Για βάση 2 mod7, τα δυνατά αποτελέσματα είναι 1,2,3,4,5,6 mod7.
    Για βάση 3 mod7, τα δυνατά αποτελέσματα είναι 1,2,3,4 mod7.
    Για βάση 4 mod7, τα δυνατά αποτελέσματα είναι 1,2,3,4,5,6 mod7.
    Για βάση 5 mod7, τα δυνατά αποτελέσματα είναι 1,2,4,5 mod7.
    Για βάση 6 mod7, τα δυνατά αποτελέσματα είναι 1,3,6 mod7.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Θα πρότεινα και μια προσέγγιση κάπως διαφορετική από αυτή του Σωτήρη:
    Αν χ η βάση του συστήματος που ψάχνουμε (χ ακέραιος > 6) και α,β,γ μια διάταξη των αριθμών 1, 3 και 6 που ικανοποιεί το ζητούμενο, τότε θα πρέπει:
    αχ^2+βχ+γ=7κ ==> αχ^2+βχ+ (γ-7κ)=0 (κ θετικός ακέραιος).
    Για να έχει λύση η εξίσωση για ακέραια χ και κ, θα πρέπει οπωσδήποτε η Δ=β^2-4α(γ-7κ) = β^2-4αγ+28ακ να είναι τέλειο τετράγωνο.
    Για να είναι ένας ακέραιος τέλειο τετράγωνο θα πρέπει να είναι 0 ή 1 ή 2 ή 4 mod7.
    Ο β^2-4αγ για τα δοθέντα ψηφία 1, 2 και 6 είναι ή 24=3mod7 ή -15=6mod7 ή -71=6mod7, ενώ ο 28ακ=0mod7.
    Επομένως ή Δ=3mod7 ή Δ=6mod7, που σημαίνει ότι δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο.
    Άρα δεν υπάρχει ακέραια βάση χ που να ικανοποιεί το ζητούμενο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Ωραία ιδέα για να 'διακρίνεις' αν υπάρχει λύση! Βέβαια, για την εμπνευσμένη αυτή λύση πρέπει να έπαιξε κάποιο ρόλο και η σημερινή ημέρα. Χρόνια πολλά Θανάση!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Πολύ ωραία!
    Να δώσω την ιστορία αυτού του θέματος. H αρχική ιδέα είναι του Σαμ Λόυντ ,όπως μπορείτε να δείτε εδώ:
    http://www.jwstelly.org/CyclopediaOfPuzzles/PuzzlePage.php?puzzleid=Pz19.1 (Πρόβλημα 2. Α study in division) και η κολπατζήδικη λύση είναι αυτή που χιουμοριστικά και όμορφα κρυπτογραφημένα(στο πνεύμα του Νιούτον! :-)) έδωσε ο Σωτήρης (swt), δηλαδή να γυρίσει ο κόσμος μερικώς ανάποδα! Aναποδογυρίζουμε το 6 δηλαδή και πλέον ο αριθμός 931/7=133. :-)
    Το υπόλοιπο του προβλήματος ,το καθαρά αριθμοθεωρητικό, προέκυψε τυχαία, όταν παλιότερα είχα θέσει το πρόβλημα σε μια άλλη ιντερνετική παρέα και κάποιος παρατήρησε ότι μάλλον είναι γλωσσικό παιχνίδι ή κάτι τέτοιο αφού οι 6 μεταθέσεις των 1,3,6 δεν διαιρούν το 7 και ότι δοκίμασε τους αριθμούς στο 7δικό ,8δικό και 9δικό σύστημα και επίσης δεν διαιρείται κανείς με το 7 ούτε σ'αυτές τις βάσεις. Τότε, παρατήρησα πως σε καμμία βάση δεν υπάρχει αριθμός που / το 7 .
    Αυτό, μπορεί σχετικά εύκολα να ελεγχθεί σε κάποιο εξέλ ας πούμε ή με την ωραία διερέυνηση των $modulo 7$ που έκανε ο Σωτήρης. Αλλά ο βαθύτερος αριθμοθεωρητικός λόγος είναι αυτό ακριβώς που έγραψε κι ανέλυσε ωραία ο Θανάσης (papadim).
    H διακρίνουσα του τριωνύμου $ν^2 +3ν +6$ και του $6ν^2 +3ν +1$ είναι $3^2 -4*6$ και ισούται $modulo(7)$ με $-1$ που δεν είναι τετράγωνο $modulo 7$ , και το ίδιο συμβαίνει και με τις άλλες διακρίνουσες των υπολοίπων τριωνύμων που έχουν τους ίδιους συντελεστές αλλά με άλλη σειρά. ($1^2 -4*6*3$, $6^2 -4*3*1$ )
    ΥΓ. Xρόνια πολλά κι από μένα στους Αντώνηδες και Αντωνίες για χθες και στους Θανάσηδες και Αθανασίες (γιορτάζει και η κόρη μου!) για σήμερα! Ιδιαίτερες ευχές στον Papadim-Θανάση και να πιει κανα καλό κρασί! (σήμερα το γλυτώνεις το κέρασμα Μπάμπη, αλλά τ'αη-Μπάμπη ..δεν θα το γλυτώσεις! :-) )

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. Να χαίρεσαι την κόρη σου Γιώργο!
    Για την ιστορία, η ανάλυση που έκανα μου έδειξε ότι το 931 είναι ο 7ος μικρότερος φυσικός που διαιρείται με το 7 σε κάποια βάση.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  9. Χρόνια πολλά Γιώργο, να χαίρεσαι την κορούλα σου!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  10. Σ'ευχαριστώ πολύ Σωτήρη!
    Σ'ευχαριστώ πολύ Σωκράτη!
    Ευχαριστώ εκ των προτέρων κι όλους τους άλλους!
    Να είμαστε καλά όλοι.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  11. Ευχαριστώ από καρδιάς τους καλούς φίλους για τις ευχές και τα ωραία σχόλιά τους. Εύχομαι με τη σειρά μου στον καθένα ξεχωριστά ό,τι καλύτερο για τους ίδιους και τις οικογένειές τους.
    Γιώργο, να χαίρεσαι την κοράκλα σου και να την καμαρώνεις!
    Θα ήταν ευχής έργο να το πιούμε αυτό το κρασί όλοι μαζί παρέα το συντομότερο, ας είναι και τ' Αη Μπάμπη, του άλλου αγίου μόνο να μην είναι! :-). Κανόνισε..

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  12. Χρόνια πολλά και καλά Αθανάσιε. Σου εύχομαι τα καλύτερα και ότι επιθυμείς.
    Χρόνια πολλά Γεώργιε, να χαίρεσαι και να καμαρώνεις την κόρη σου σε ότι σκέφτεσαι και επιθυμείς και φυσικά σε ότι θα επιθυμεί η ίδια!
    Το αργοπορημένο των ευχών μου οφείλεται στο ότι μόλις επέστεψα στο σπίτι μου, το τελευταίο διάστημα οι εργασιακές και επαγγελματικές υποχρεώσεις μου είναι ιδιαίτερα αυξημένες, δυστυχώς μεν από πλευράς ελεύθερου χρόνου ευτυχώς δε και κυρίως από οικονομικής πλευράς, μέρες που είναι!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  13. Χρόνια πολλά Αθανάσιε, να είσαι γερός, ότι επιθυμείς!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  14. Ευχαριστώ Ευθύμη! Να είσαι πάντα το ίδιο δυνατός όπως τώρα και να τα καταφέρνεις το ίδιο καλά σε όλες σου τις δραστηριότητες, και τις εις τόπον εργασίας και τις eisatopon πνευματικής άσκησης και ζωογονίας.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  15. Ευχαριστώ Σωκράτη! Σου εύχομαι με τη σειρά μου υγεία και δύναμη και να κρατάς ζωντανή και ακμαία αυτή την πολύτιμη γωνιά της γνώσης.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  16. Mια κι αυτή h ανάρτηση έχει μάλλον εξαντλήσει το μαθηματικό της περιεχόμενο , δεν πειράζει νομίζω να τη συντηρήσουμε λίγο ακόμη στο ρόλο του εορτολογίου-ευχολογίου.
    Xρόνια πολλά Ευθύμη Αλεξίου! Nα είσαι καλά εσύ και οι αγαπημένοι σου.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Γιώργο χίλια συγγνώμη, τώρα το είδα, οπότε χίλια ευχαριστώ!

      Διαγραφή
  17. Χρόνια πολλά Ευθύμη! Να είσαι πάντα καλά, εσύ κι οι αγαπημένοι σου.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  18. Πολύχρονος Ευθύμη, εύχομαι κάθε καλό σε σένα και όσους αγαπάς!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  19. Χρόνια πολλά Ευθύμιε με υγεία, ότι επιθυμείς!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  20. Χρόνια πολλά Ευθύμη ο,τι επιθυμείς!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  21. Σωτήρη
    Θανάση
    Σωκράτη (δυσκολεύτηκα λiγo αλλά θα το συνηθίσω !:-)
    Μπάτη
    Σας ευχαριστώ πάρα πολύ, να είστε καλά και ότι επιθυμείτε!

    ΑπάντησηΔιαγραφή