Τετάρτη, 22 Ιανουαρίου 2014

Μήκος τμήματος



Δύο κύκλοι $({C_1})\,\kappa \alpha \iota \,({C_2})$ εφάπτονται ευθυγράμμου τμήματος $AB = 8$ στα άκρα του $A,B$ αντίστοιχα.
Η εφαπτομένη του κύκλου $({C_1})\,$από το μέσο $M$ του $AB$ τέμνει τον $({C_2})$ στα $D,E$με το $D$ ανάμεσα στα $M\,\kappa \alpha \iota \,E$, εφάπτεται δε του $({C_1})\,$ στο $S$.
Αν $DS = 2$ να υπολογιστεί το $SE = x$.

7 σχόλια:

  1. Αυτή η άσκηση θεωρείται απλή, αλλά ενδιαφέρουσα. Είναι MS=AM=4, οπότε DM=MS-DS=4-2=2. Από τη σχέση τώρα BM^2=DM*EM παίρνουμε: 4^2=2*(x+4), ή 16=2*x+8, ή 2*x=8, ή x=4, δηλαδή SE=4.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Ωραία Φώτη . Ευχαριστώ
    ... Εκείνον τον εξαίρετο τραγουδιστή με το ίδιο Επώνυμο τον έχεις μήπως συγγενή ;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Doloros, με το Γιάννη είμαστε τρίτα ξαδέρφια, από το ίδιο χωριό μάλιστα ήταν οι παππούδες μας!

      Διαγραφή
  3. Κατ' αρχάς να ξαναεκφράσω την ευχαρίστηση μου που ο
    Νίκος Φραγκάκης βάζει θέματα και κυρίως για την προτίμηση
    του σε θέματα Γεωμετρίας, αγαπημένο μου μάθημα
    (Γεωμετρία-Στερεομετρία) παράλληλα με την Φυσική και τα
    Αρχαία-Γλώσσα-Έκθεση, στα Γυμνασιακά-Λυκειακά χρόνια
    πριν από $44$ και προς τα πίσω χρόνια.
    Και αφού είναι εύκολο όπως παρατήρησε ο Φώτης Κότσιρας,
    ας το κάνουμε λιγότερο εύκολο.

    $BM^{2}=DM \times EM$ .
    Γιατί όμως ισχύει αυτό?
    Τα τρίγωνα $MBD$ και $MEB$ είναι όμοια, συνεπώς
    $\frac{MB}{ME}= \frac{MD}{MB}$ => $BM^{2}=DM \times EM$

    Και γιατί τα τρίγωνα $MBD$ και $MEB$ είναι όμοια?
    Έστω $O$ το κέντρο του κύκλου $(C2)$ και $B'$ το αντιδιαμετρικό του $B$ .
    Τα τρίγωνα $MBD$ και $MEB$ έχουν την $ \widehat{BMD}$ κοινή και
    $\widehat{MBD}=90o-\widehat{DBO}=90-\widehat{ODB}=\widehat{ODB'}=\widehat{DB'O}$
    (ισοσκελή τρίγωνα)= $\widehat{DB'B}= \widehat{DEB}$(βλέπουν στο ίδιο τόξο $BD$)
    Άρα έχουν $2$ γωνίες ίσες, άρα και την τρίτη, άρα είναι όμοια.

    Φαντάζομαι να μην μπήκα σε ξένα ...χωρικά ύδατα και μάλιστα
    με λάθος τρόπο! :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Κύριε Αλεξίου, δεν ξέρω και την ηλικία σας βέβαια, είστε μαθηματικός;

      Διαγραφή
    2. Όχι κύριε Κότσιρα δεν είμαι μαθηματικός ούτε με την επαγγελματική έννοια ούτε με την γενικότερη γνωστική έννοια. Άρχισα να ασχολούμαι ερασιτεχνικά με μαθηματικούς γρίφους σε άλλο μπλόγκ εδώ και σχεδόν 2 χρόνια και με τα "διασκεδαστικά", αλλά και τόσο ενδιαφέροντα και ουσιαστικά μαθηματικά εδώ και ένα χρόνο μετά από 40 περίπου χρόνια ..."αγρανάπαυσης" περί τα μαθηματικά αυτά καθεαυτά.
      Να υποθέσω ότι η ερώτηση σας σημαίνει "ότι μπήκα
      σε ξένα ...χωρικά ύδατα και μάλιστα με λάθος τρόπο?
      Η ηλικία μου τεκμαίρεται από το "44 χρόνια μετά το Λύκειο", αν και δεν καταλαβαίνω τι ρόλο παίζει αυτό, υποθέτω ότι αναρωτηθήκατε αν "συνάδει" με το "κύριε".
      Συγγνώμη για το σκέτο "Φώτης Κότσιρας" που έγραψα στο προηγούμενο σχόλιο, είπα και εγώ να συγχρονιστώ με την πλειοψηφία των σχολιαστών.

      Διαγραφή
    3. Δεν είχα προσέξει το σχόλιό σας για "44 χρόνια μετά το Λύκειο", οπότε υπέθεσα ότι μπορεί να είμαστε και συνομήλικοι. Τέλος πάντων, η ηλικία μου είναι 36, ούτε εγώ είμαι μαθηματικός, αλλά μου αρέσει ιδιαίτερα η Ευκλείδεια Γεωμετρία και όποτε βρίσκω χρόνο ασχολούμαι με ασκήσεις εδώ μέσα στο blog και μάλιστα έχω λύσει και κάποιες με αυξημένη δυσκολία. Μπορείτε να απευθύνεστε σε μένα με το όνομά μου μόνο και στον ενικό.

      Διαγραφή