Δευτέρα, 27 Ιανουαρίου 2014

Τρία κουτιά

Κάθε ένα από τρία όμοια κουτιά είναι χωρισμένο σε δύο μέρη. Το πρώτο κουτί περιέχει από ένα χρυσό νόμισμα σε κάθε χώρισμα, ο δεύτερο ένα αργυρό και ένα χρυσό και το τρίτο κουτί έχει ένα αργυρό νόμισμα σε κάθε χώρισμα. Παίρνουμε τυχαία ένα κουτί και στο ένα χώρισμα υπάρχει ένα νόμισμα, ποια η πιθανότητα στο άλλο χώρισμα να υπάρχει διαφορετικό είδος νομίσματος;
(Bertrand 1889, Poincare 1912)

2 σχόλια:

  1. Καταρχάς μια μικρή σχολαστική διόρθωση Σωκράτη. Το πρόβλημα των «τριών κουτιών» ή των «τριών κοσμηματοθηκών» ακριβέστερα ,περιέχεται, όπως και άλλα γνωστά παράδοξα, στο ιστορικό και πολύ σημαντικό για τη Θεωρία των Πιθανοτήτων σύγγραμμα του Μπερτράν : «Calcul des probabilités» του 1889 (και όχι 1849) και υπάρχει ολόκληρο εδώ: http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k99602b Διόρθωσε αν θέλεις τη χρονολογία για να είμαστε και τυπικώς εντάξει. :-)
    Το πρόβλημα των “trois coffrets” είναι το θέμα 2. Στην αρχή του βιβλίου ,στο κεφάλαιο 1.(screen 62 /392). Προηγείται ο πρόλογος (préface ) που συνιστώ ανεπιφύλακτα να διαβαστεί από όποιον έχει τα γαλλικά.
    Άλλο ένα βαθύ παράδοξο του Bertrand , το οποίο βεβαίως απαντήθηκε ,χωρίς να θεωρηθεί «λελυμένο» ως φιλοσοφικό θέμα, από τον μεγάλο Ανρύ Πουανκαρέ το 1912.
    Το θέμα/παράδοξο έχει λοιπόν ως εξής: Έστω πως τα κουτιά είναι Α {χρυσό, χρυσό} , Β{αργυρό, αργυρό} και Γ{χρυσό, αργυρό} . Επιλέγοντας ένα κουτί στην τύχη, αυτό θα είναι προφανέστατα με πιθανότητα 1 στις 3, το κουτί Γ. Τώρα ανοίγουμε ,επίσης στην τύχη ένα συρτάρι/χώρισμα. Υπάρχουν 2 δυνατότητες για το τι θα βρούμε:
    1η. Βλέπουμε ένα χρυσό νόμισμα(«μετάλλιο» η πρωτότυπη ορολογία (médaille). Σ’αυτήν την περίπτωση παραμένουν 2 δυνατότητες. Το άλλο συρτάρι έχει 1 χρυσό (άρα επιλέξαμε το κουτί Α) ή το άλλο συρτάρι έχει 1 ασημένιο (επιλέξαμε το κουτί Γ).
    2η. Βλέπουμε ένα αργυρό νόμισμα. Σ’αυτήν την περίπτωση παραμένουν επίσης 2 δυνατότητες. Το άλλο συρτάρι έχει 1 χρυσό (άρα επιλέξαμε το κουτί Γ) ή το άλλο συρτάρι έχει 1 ασημένιο (επιλέξαμε το κουτί Β). Όπως και νάχει , φαίνεται, πως υπάρχουν λοιπόν 2 περιπτώσεις όπου σε καθεμιά η πιθανότητα να έχουμε επιλέξει το κουτί Γ είναι 1 από 2, άρα η πιθανότητα επιλογής του κουτιού Γ ,τελικά είναι ½ και όχι 1/3 !
    Ο ίδιος ο Μπερτράν , δεν δέχτηκε πως το γεγονός ότι απλώς ανοίξαμε ένα κουτί αλλάζει την πιθανότητα επιλογής του Γ ,από 1 στις 3 σε 1 στις 2, «Comment croir, cependant , qu’il suffira d’ouvrir un tiroir pour changer la probabilité et de 1/3 l’elever à ½ ?»
    αλλά η (ή καλύτερα «μια») εξήγηση δόθηκε από τον Πουανκαρέ το 1912.
    Έστω πως τα συρτάρια σε κάθε κουτί έχουν από μία ετικέτα (που δεν βλέπουμε) α και β. και έστω πως το χρυσό μετάλλιο στο κουτί Γ είναι στο συρτάρι α. Τότε, υπάρχουν 6 ισοπίθανες δυνατότητες για το συρτάρι που ανοίγουμε:
    1. Κουτί Α , συρτάρι α =χρυσό
    2. Κουτί Α, συρτάρι β= χρυσό
    3. Κουτί Β, συρτάρι α = αργυρό
    4. Κουτί Β, συρτάρι β= αργυρό
    5. Κουτί Γ, συρτάρι α = χρυσό
    6. Κουτί Γ, συρτάρι β = αργυρό.
    Όταν λοιπόν ,ας πούμε, βρούμε ένα χρυσό στο πρώτο συρτάρι που ανοίγουμε , 3 από τις παραπάνω δυνατότητες παραμένουν. Η περίπτωση 1. Ή η 2. Ή η 5. Από τις τρεις, μόνο η μία σημαίνει «κουτί Γ» ,άρα η πιθανότητα του Γ παραμένει 1 στις 3.
    Ας μού επιτραπεί μια πρόσθετη εκτροπή/αναφορά ,πως τα παράδοξα του Μπερτράν , ιδωμένα μέσα από ένα γενικότερο πρίσμα «ανησυχίας» και δημιουργίας της εποχής , αλλά και ειδικότερα στον πολύ ενδιαφέροντα και κρίσιμο για την επιστήμη και την κοσμοθεωρία τομέα ,αυτόν των Πιθανοτήτων , βοήθησαν και συνετέλεσαν μαζί με πολλά άλλα πράγματα (όπως η «αρχή του Κουρνό»( Cournot) και οι κόντρες του με τον Φον Κρις (von Kries) και η γενικότερη «φιλοσοφικά» προσανατολισμένη Γαλλική πιθανοτική σχολή με προεξάρχοντες τους Πουανκαρέ, Ζακ Χάνταμαρτ, Frechet , Levy και τον μεγάλο «σύνδεσμο» της γαλλικής πρωτοπορίας και του γερμανικού σκεπτικισμού Εμίλ Μπορέλ. Όλα αυτά και άλλα πολλά ,προστιθέμενα στην ανάγκη για περισσότερη αυστηρότητα και επέκταση /βελτίωση του μέχρι τότε ουσιαστικά απαράλαχτα εμπειρικού –στα χνάρια των μεγάλων πρωτοπόρων Μπερνούλι ,Ντε Μουάβρ και Λαπλάς- χαρακτήρα των Πιθανοτήτων , οδήγησαν ,σα ζύμωση, στην επιτακτική ανάγκη για περισσότερη αυστηρότητα και οριοθέτηση ενός αξιωματικού συστήματος για τις Πιθανότητες . Όλα αυτά δηλαδή ,και άλλα ακόμη (όπως ας πούμε η ανάγκη να ξεκαθαρίσει η έννοια της «απειροστίκά μικρής» πιθανότητας) οδήγησαν στο εραλδικό ορόσημο Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Θεμελιώδεις έννοιες του λογισμού των Πιθανοτήτων) του Κολμογκόροφ και στον αξιωματικό ορισμό της Πιθανότητας.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Εξαιρετική παρουσίαση, Γεώργιε Ριζόπουλε είσαι μέγιστος!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή