Τρίτη 7 Ιανουαρίου 2014

Μπορεί;

Δίνεται ένα κυρτό πολύγωνο στο οποίο δεν μπορεί να χωρέσει κανένα τρίγωνο με εμβαδόν $1$. Μπορεί αυτό το πολύγωνο να χωρέσει σε τρίγωνο με εμβαδόν ίσο με $4$;
Πανενωσιακή Μαθηματική Ολυμπιάδα 1975
Αναρτήθηκε από στις 7.1.14
Ετικέτες ,

3 σχόλια:

  1. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ8 Ιανουαρίου 2014 στις 12:25 π.μ.

    Θεωρούμε ένα πολύγωνο στο οποίο το μεγαλύτερο τρίγωνο,
    έστω $AiAjAk$ , έχει εμβαδόν που τείνει στο $1$ και κανένα
    τρίγωνο που μπορεί να τοποθετηθεί στο πολύγωνο να μην
    έχει εμβαδόν μεγαλύτερο του $AiAjAk$ (πχ, που μου έρχεται
    εύκολα στον νου, ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς που τείνει στο
    $1,51967..$ και περιγεγραμμένο σε αυτό κύκλο. Οποιοδήποτε
    τρίγωνο που οι κορυφές του βρίσκονται στην περιφέρεια του
    κύκλου, πόσο μάλλον μέσα στον κύκλο δεν μας δίνει εμβαδόν
    μεγαλύτερο ή ίσο του ισόπλευρου τριγώνου.)
    Από κάθε κορυφή του τριγώνου $AiAjAk$ φέρνω παραλλήλους
    προς τις απέναντι πλευρές του τριγώνου, οι τομές των οποίων μας δίνουν όμοιο τρίγωνο $Ai'Aj'Ak'$ με εμβαδόν που τείνει στο $4$ .Σε οποιοδήποτε κυρτό πολύγωνο που σχηματίζεται απ;o τις
    κορυφές $Ai,Aj,Ak$ και εκτείνεται προς το καθένα από τα τρία ίσα προς το αρχικό τρίγωνα που κατασκευάσαμε δεν μπορεί να χωρέσει τρίγωνο εμβαδού $1$ και όλα χωράνε σε τρίγωνο
    εμβαδού που τείνει στο $4$ και φυσικά σε τρίγωνο εμβαδού ίσου με $4$ .

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ8 Ιανουαρίου 2014 στις 12:40 π.μ.

      Υ.Γ. Παράλειψη μου...
      Καλή Χρονιά κ. Ρωμανίδη!
      Καλή Χρονιά κ. Φραγκάκη και χαιρόμαστε που δεν μας ξεχάσατε!

      Διαγραφή
  2. Σωκράτης Δ. Ρωμανίδης8 Ιανουαρίου 2014 στις 2:55 μ.μ.

    Καλή χρονιά κ. Ευθυμίου, να είστε καλά! Πολύ ωραίες οι λύσεις σας ...

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)