Τρίτη, 7 Ιανουαρίου 2014

Μπορεί;

Δίνεται ένα κυρτό πολύγωνο στο οποίο δεν μπορεί να χωρέσει κανένα τρίγωνο με εμβαδόν $1$. Μπορεί αυτό το πολύγωνο να χωρέσει σε τρίγωνο με εμβαδόν ίσο με $4$;
Πανενωσιακή Μαθηματική Ολυμπιάδα 1975

3 σχόλια:

  1. Θεωρούμε ένα πολύγωνο στο οποίο το μεγαλύτερο τρίγωνο,
    έστω $AiAjAk$ , έχει εμβαδόν που τείνει στο $1$ και κανένα
    τρίγωνο που μπορεί να τοποθετηθεί στο πολύγωνο να μην
    έχει εμβαδόν μεγαλύτερο του $AiAjAk$ (πχ, που μου έρχεται
    εύκολα στον νου, ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς που τείνει στο
    $1,51967..$ και περιγεγραμμένο σε αυτό κύκλο. Οποιοδήποτε
    τρίγωνο που οι κορυφές του βρίσκονται στην περιφέρεια του
    κύκλου, πόσο μάλλον μέσα στον κύκλο δεν μας δίνει εμβαδόν
    μεγαλύτερο ή ίσο του ισόπλευρου τριγώνου.)
    Από κάθε κορυφή του τριγώνου $AiAjAk$ φέρνω παραλλήλους
    προς τις απέναντι πλευρές του τριγώνου, οι τομές των οποίων μας δίνουν όμοιο τρίγωνο $Ai'Aj'Ak'$ με εμβαδόν που τείνει στο $4$ .Σε οποιοδήποτε κυρτό πολύγωνο που σχηματίζεται απ;o τις
    κορυφές $Ai,Aj,Ak$ και εκτείνεται προς το καθένα από τα τρία ίσα προς το αρχικό τρίγωνα που κατασκευάσαμε δεν μπορεί να χωρέσει τρίγωνο εμβαδού $1$ και όλα χωράνε σε τρίγωνο
    εμβαδού που τείνει στο $4$ και φυσικά σε τρίγωνο εμβαδού ίσου με $4$ .

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Υ.Γ. Παράλειψη μου...
      Καλή Χρονιά κ. Ρωμανίδη!
      Καλή Χρονιά κ. Φραγκάκη και χαιρόμαστε που δεν μας ξεχάσατε!

      Διαγραφή
  2. Καλή χρονιά κ. Ευθυμίου, να είστε καλά! Πολύ ωραίες οι λύσεις σας ...

    ΑπάντησηΔιαγραφή