Σάββατο, 4 Ιανουαρίου 2014

Καταμέτρηση

"Δημοκρατία δεν είναι οι ψήφοι. Δημοκρατία είναι η καταμέτρηση των ψήφων" 
 Τομ Στόπαρντ
Σκέφτομαι έναν εξαψήφιο αριθμό. Το άθροισμα των ψηφίων του είναι $43.$ Δύο από τις επόμενες τρεις προτάσεις είναι αληθείς.
$1)$ Ο αριθμός μου είναι τέλειο τετράγωνο.
$2)$ Ο αριθμός μου είναι τέλειος κύβος. $3)$ Ο αριθμός μου είναι μικρότερος από $500.000$
Ποιος είναι ο αριθμός μου;

4 σχόλια:

  1. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Έστω ότι ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο
    και τέλειος κύβος, άρα πρέπει Α=Κ^(2*3)=Κ^6
    999999^(1/6)=9.999998...
    100000^(1/6)=6.8129..
    άρα ο Κ = 7,8,9
    7^6=117649, Σ=28 απορ.
    8^6=262144, Σ=19 απορ.
    9^6=531441, Σ=18 απορ.
    Άρα ο αριθμός είναι μικρότερος του 500000
    και οι εκατοντάδες χιλιάδων 4 και λιγότερο
    Δοκιμές με εμπειρικό τρόπο
    499991, 4+9+9+9+9+1=41 απορρίπτεται
    499992, 4+9+9+9+9+2=42 απορρίπτεται
    499993 (Σ=43) , απορρίπτεται λόγω 3
    499984 (Σ=43), 499984^0.5=707.095...απορ.
    Άρα 707*707=499849 Σ=43 δεκτό
    Θα μου πείτε το γνωρίζω από την απάντηση του swt,
    σωστό και συνεχίζω...
    499975^0.5=707.0891..
    499966^0.5= 707.0827..
    499957 απορ. λόγω 7
    499948 απορ λόγω 8
    499939^0.5=707.0636..
    499849^0.5=707 δεκτό
    (499849^(1/3)=79.362...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Τα προβλήματα αυτού του τύπου λύνονται βεβαίως εύκολα με ένα απλό σχετικά προγραμματάκι -"ψαχτήρι" σε κάποια γλώσσα προγραμματισμού. Πέραν τούτου όμως ,υπάρχουν σχεδόν πάντα αριθμοθεωρητικής φύσης παρατηρήσεις που βοηθούνε να κόψουμε δρόμο.
    Μπορούμε ας πούμε αμέσως να δούμε πως ο ζητούμενος αριθμός δεν μπορεί να είναι τέλειος κύβος.
    Υπάρχει η χρήσιμη ιδιότητα που λέει πως το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός δεκαδικού αριθμού με το 9 ισούται με το υπόλοιπο της διαίρεσης του αθροίσματος των ψηφίων του.
    $43=7mod9$ άρα και ο αριθμός $x$ είναι ισοδύναμος $7mod9$.
    Όλοι οι τέλειοι κύβοι όμως mod9 είναι διάφοροι του 7. ($0^3=0mod9$ , $1^3=1mod9$, $2^3=8mod9$, $3^3=0mod9$ , $4^3=1mod9$ ..κ.λ.π μέχρι το $8^3=8mod9$ Η περίοδος των κύβων $mod9$ είναι :0,1,8,0,1,8,0...
    Άρα ψάχνουμε για κάποιο τετράγωνο μεγαλύτερο από 99999 και μικρότερο από 500000 που να είναι $7mod9$
    To εν λόγω εύρος αριθμών μπορεί να περιοριστεί ακόμη περισσότερο αν σκεφτούμε πως οι αριθμοί που έχουν τετράγωνο στο διάστημα είναι από το $316$ ώς το $708$, και πως οι αριθμοί που το τετράγωνό τους είναι $7mod9$ πρέπει να είναι ισοδύναμοι με...

    ΑπάντησηΔιαγραφή