Πέμπτη, 30 Ιανουαρίου 2014

Διαστάσεις

Στις πλευρές ορθογωνίου ABCD με ΑΒ=11 και AD=10 βρίσκονται οι κορυφές ενός άλλου ορθογωνίου EFGH του οποίου η κορυφή Ε βρίσκεται επί της AD και απέχει 4 μετρικές μονάδες από την κορυφή Α του αρχικού ορθογωνίου. 
26012014DA.ggb.png
Ποιες μπορεί να είναι οι διαστάσεις του EFGH;
Από τα Χανιά, 
Γιώργος Φραγκάκος
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

1 σχόλιο:

  1. Αν η κορυφή F του ορθογωνίου EFGH βρίσκεται επί της AB, τότε το G θα είναι σημείο της πλευράς BC και το H θα ανήκει στη CD. Θα είναι τότε (CG)=(AE)=4 και (BG)=(DE)=(AD)-(AE)=10-4=6. Τα τρίγωνα AFE και BFG είναι όμοια, διότι είναι ορθογώνια και γωνία BGF=π/2-(γωνία BFG)=π/2-[π-(γωνία EFG)-(γωνία AFE)]=π/2-[π-π/2-(γωνία AFE)]=π/2-[π/2-(γωνία AFE)]=π/2-π/2+(γωνία AFE)=γωνία AFE, επομένως (AF)/(AE)=(BG)/(BF), ή (AF)/(AE)=(BG)/[(AB)-(AF)], ή (AF)/4=6/[11-(AF)], ή 11(AF)-(AF)^2=24, ή (AF)^2-11(AF)+24=0. Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι Δ=11^2-4*24=121-96=25>0, οπότε αυτό έχει 2 ρίζες: (AF)=[11+25^(1/2)]/2=(11+5)/2=16/2=8, ή (AF)=[11-25^(1/2)]/2=(11-5)/2=6/2=3, δεκτές και οι δύο. Αν (AF)=3, τότε (BF)=11-3=8, οπότε οι διαστάσεις του EFGH θα είναι: (EF)=[(AE)^2+(AF)^2]^(1/2)=(4^2+3^2)^(1/2)=(16+9)^(1/2)=25^(1/2)=5 και (FG)=[(BF)^2+(BG)^2]^(1/2)=(8^2+6^2)^(1/2)=(64+36)^(1/2)=100^(1/2)=10. Αν τώρα (AF)=8, τότε (BF)=3, οπότε οι διαστάσεις θα είναι: (EF)=(8^2+4^2)^(1/2)=(64+16)^(1/2)=80^(1/2)=4*5^(1/2) και (FG)=(3^2+6^2)^(1/2)=(9+36)^(1/2)=45^(1/2)=3*5^(1/2).

    ΑπάντησηΔιαγραφή