Τρίτη, 14 Ιανουαρίου 2014

Το πρόβληµα του σπιρτόκουτου του Banach

Ένας µαθηµατικός, καπνιστής πίπας έχει πάντα µαζί του $2$ κουτιά σπίρτων, ένα στην αριστερή και ένα στη δεξιά τσέπη. Κάθε ϕορά που χρειάζεται ένα σπίρτο επιλέγει από ένα κουτί είτε από την αριστερή είτε από δεξιά τσέπη, µε την ίδια πιθανότητα. Ας ϑεωρήσουµε την στιγµή όπου ο µαθηµατικός ανακαλύπτει για πρώτη ϕορά πως το ένα κουτί είναι άδειο. Αν υποθέσουµε πως αρχικά κάθε κουτί περιέχει $N$ σπίρτα, ποια είναι η πιθανότητα στο άλλο κουτί να περιέχονται ακριβώς $k$ σπίρτα, µε $k = 0, 1, . . . , N$;

1 σχόλιο:

  1. Πολύ ωραίο πρόβλημα, για το οποίο φυσικά, μιας και δώσατε τον τίτλο του, μπορεί να βρει κανείς πληθώρα παραπομπών και αναλύσεων στο διαδίκτυο. Παραθέτω μια πολύ απλή προσέγγιση:
    Όταν ο μαθηματικός ανακαλύπτει κάποιο από τα δύο κουτιά άδειο (έστω το κουτί Α), έχει ξοδέψει Ν σπίρτα από το κουτί Α και Ν-κ σπίρτα από το κουτί Β. Έχουν ξοδευτεί επομένως 2Ν-κ σπίρτα, εκ των οποίων τα Ν από το κουτί Α. Αυτό μπορεί να έχει γίνει με C(2Ν-κ, Ν) τρόπους.
    Οι συνολικά δυνατοί τρόποι τυχαίας επιλογής 2Ν-κ σπίρτων από το κουτί Α ή το κουτί Β είναι 2^(2Ν-κ).
    Επομένως, η πιθανότητα στο κουτί Β να έχουν απομείνει κ σπίρτα, τη στιγμή που διαπιστώνεται ότι το κουτί Α είναι άδειο, υπολογίζεται:
    P = C(2Ν-κ, Ν) / 2^(2Ν-κ)

    ΑπάντησηΔιαγραφή