Πέμπτη, 9 Ιανουαρίου 2014

Ασκήσεις ιστορικού ενδιαφέροντος - Πιθανότητες (5)

Tρεις παίκτες A, B, Γ παίζουν το παρακάτω παιχνίδι. Παίζουν τρεις παρτίδες και σε καθεμιά ο καθένας έχει πιθανότητα 1/3 να κερδίσει. Ο Α κερδίζει το παιχνίδι αν κερδίσει μία παρτίδα, πριν ο καθένας από τους Β, Γ κερδίσει δύο παρτίδες. Ο Β κερδίζει το παιχνίδι αν κερδίσει δύο παρτίδες, πριν ο Α κερδίσει μία και πριν ο Γ κερδίσει δύο. Όμοια για τον Γ. Ποια η πιθανότητα να κερδίσουν το παιχνίδι οι Α, Β, Γ;
Montmort, 1708 

4 σχόλια:

  1. Σχηματίζω το πιθανοτικό (ή όπως αλλιώς λέγεται) δένδρο.
    Δειγματικός χώρος $ 3^{3} =27$ δυνατές περιπτώσεις
    (στο 1ο κερδίζει ή ο $A$ ή ο $B$ ή ο $ \Gamma $ , όμοια και στο 2ο και 3ο παιχνίδι, $3 \times 3 \times 3=27$ )

    Ο $A$ κερδίζει στις παρακάτω $17$ περιπτώσεις:
    ΑΑΑ, ΑΑΒ, ΑΑΓ, ΑΒΑ, ΑΒΒ, ΑΒΓ, ΑΓΑ, ΑΓΒ, ΑΓΓ,
    ΒΑΑ, ΒΑΒ, ΒΑΓ, ΒΓΑ, ΓΑΑ, ΓΑΒ, ΓΑΓ και ΓΒΑ
    άρα πιθανότητα να κερδίσει ο $A$
    $ \Pi _{(A)}= \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times 17=17/27$

    Ο $B$ κερδίζει σε $5$ περιπτώσεις
    ΒΒΑ, ΒΒΒ, ΒΒΓ, ΒΓΒ και ΓΒΒ
    $ \Pi _{(B)}= \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times 5=5/27$

    Ο $ \Gamma $ τις εναπομείνασες $27-17-5 =5$ περιπτώσεις
    ΒΓΓ, ΓΒΓ, ΓΓΑ, ΓΓΒ και ΓΓΓ
    $ \Pi _{( \Gamma )}= \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times 5=5/27$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Συμφωνώ απόλυτα με τον Ευθύμιο και μπράβο του! Παραθέτω και μια εναλλακτική προσέγγιση, με απευθείας χρήση πιθανοτήτων.

    Ο Α νικά σε οποιαδήποτε από τις εξής περιπτώσεις:
    α) κερδίζει στην 1η παρτίδα (πιθανότητα 1/3)
    β) χάνει στην 1η και κερδίζει στη 2η παρτίδα (πιθανότητα 2/3*1/3=2/9)
    γ) χάνει στην 1η και 2η , από διαφορετικό κάθε φορά παίκτη, και κερδίζει στην 3η παρτίδα (πιθανότητα 2/9*1/3=2/27)

    Συνολική πιθανότητα νίκης Α= 1/3 + 2/9 + 2/27 = 17/27
    Πιθανότητα νίκης Β = Πιθανότητα νίκης Γ = (1 – 17/27) / 2 = 5/27

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Ευχαριστώ τον papadim για τον έπαινο και τον εκλαμβάνω
    κυρίως για το “κοπιαστικό”του πράγματος που ήταν και
    συνειδητή μου επιλογή.
    Θα κάνω μια μικρή διευκρίνηση στην λύση του Θανάση,
    με την οποία φυσικά και συμφωνώ, κυρίως προς τρίτους
    που πιθανόν δεν έχουν τις γνώσεις και την εμπειρία του.
    Στην γ) περίπτωση του Α “(πιθανότητα 2/9*1/3=2/27)”.
    υπάρχει αλματάκι στις πράξεις και δεν φαίνεται η
    αληλλουχία των συμβάντων και πως προκύπτει
    το 2/9 (το 1/3 είναι η πιθανότητα ο Α να κερδίσει το
    3ο παιχνίδι).
    Ο Α χάνει την 1η παρτίδα, πιθανότητα να συμβεί αυτό 2/3,
    χάνει και την 2η πιθανότητα να συμβούν και τα δύο
    2/3*2/3=4/9, κερδίζει την 3η (π=1/3), άρα συνολικά
    πιθανότητα 2/3*2/3*1/3=4/27 ? Όχι , γιατί κερδίζει
    μόνο αν κανείς από τους Β και Γ δεν κερδίσει 2 παρτίδες
    πριν ο Α κερδίσει την 3η. Ενδεχόμενα ΒΒΑ, ΓΓΑ, ΒΓΑ, ΓΒΑ,
    κερδίζει δηλαδή στα 2 από τα 4 ενδεχόμενα, 2/4=1/2.
    Άρα πιθανότητα 2/3*2/3*1/3*1/2=2/9*1/3=2/27
    όπως σωστά γράφτηκε.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Να 'σαι καλά Ευθύμιε, ευχαριστώ με τη σειρά μου για το σχόλιό σου.
    Τα 'εύσημά' μου για τη λύση σου αφορούσαν κυρίως στην ορθότητα και πληρότητά της και δευτερευόντως στο 'κοπιαστικό' τού πράγματος.
    Όσο για την περίπτωση γ) της προσέγγισής μου, φανταζόμουν ότι ήταν επαρκώς εξηγημένη, αλλά δε βλάπτει να διευκρινίσω το σκεπτικό της πιο αναλυτικά: η πιθανότητα να χάσει ο Α στην 1η παρτίδα από έναν, οποιονδήποτε, εκ των Β και Γ είναι 2/3, η πιθανότητα να χάσει τη 2η από τον άλλο είναι 1/3 και η πιθανότητα να κερδίσει στην 3η είναι 1/3, επομένως η συνδυασμένη πιθανότητα να συμβούν και τα τρία είναι 2/3*1/3*1/3 = 2/27

    ΑπάντησηΔιαγραφή