Παρασκευή, 31 Ιανουαρίου 2014

$2+1$ μεζεδάκια

$1.$ Τρεις ευθείες που δεν συντρέχουν (δεν διέρχονται δηλαδή από το ίδιο σημείο) και είναι μη παράλληλες ανά δύο, χωρίζουν το επίπεδο σε επτά διακριτές περιοχές. 
Βρείτε (με απόδειξη) σε πόσες περιοχές διαιρούν το επίπεδο $ν$ ευθείες που ανά τρεις δεν συντρέχουν και ανά δύο είναι μη παράλληλες.
$2.$ Έστω το σύνολο $S_{10}$ $=$ {$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$} Πόσα υποσύνολα του $S_{10}$ υπάρχουν τα οποία δεν περιέχουν στοιχεία που να διαφέρουν κατά μία μονάδα; Π.χ το υποσύνολο {$2,4,7$} είναι δεκτό ,όχι όμως το {$2,3,7$}. Τα μονοσύνολα και το κενό σύνολο θεωρούνται δεκτά.
$3.$ Δύο κυκλικοί πύργοι έχουν διαφορετικές διαμέτρους αλλά το ίδιο ακριβώς ύψος. Κάθε πύργος περιβάλλεται από μια στριφογυριστή ελικοειδή σκάλα από τη βάση του ώς την κορυφή του. Οι σκάλες έχουν ίσες και σταθερές κλίσεις. Ποια είναι η μακρύτερη σκάλα;

6 σχόλια:

  1. 2. Έστω F(n) ο πληθάριθμος των υποσυνόλων του συνόλου S(n) ={1,2,3,...n}, που δεν περιέχουν δύο διαδοχικούς ακεραίους. Τα υποσύνολα αυτά διακρίνονται σε δύο οικογένειες:
    α. την οικογένεια των υποσυνόλων που περιλαμβάνουν ως μέλος το η και, αναγκαστικά, δεν περιλαμβάνουν το η-1, μπορούν όμως να περιλαμβάνουν το η-2 και τους επιτρεπόμενους μικρότερούς του ακεραίους. Ο πληθάριθμος αυτής της οικογένειας είναι επομένως F(η-2).
    β.την οικογένεια των υποσυνόλων που δεν περιλαμβάνουν ως μέλος το η και επομένως μπορούν να περιλαμβάνουν το η-1 και τους επιτρεπόμενους μικρότερούς του ακεραίους. Ο πληθάριθμος αυτής της οικογένειας είναι επομένως F(η-1).
    Συνεπώς ισχύει F(n)=F(n-1)+F(n-2).
    Όπως φαίνεται, ο ζητούμενος πληθάριθμος έχει δομή ακολουθίας Φιμπονάτσι.
    Εύκολα υπολογίζεται ότι F(1)=2 και F(2)=3, οπότε F(3)=5....F(8)=55, F(9)=89, F(10)=144.
    Επομένως, υπάρχουν 144 τέτοια υποσύνολα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. 1. 'Εστω Α(ν) ο αριθμός των περιοχών στις οποίες χωρίζεται το επίπεδο από ν>1 αλληλοτεμνόμενες ευθείες.
    Η ν-οστή ευθεία που προστίθεται σε ν-1 προϋπάρχουσες, χωρίζεται από αυτές σε ν ευθύγραμμα κομμάτια (τμήματα ή ημιευθείες), καθένα από τα οποία 'διπλασιάζει' τον αριθμό των προϋπαρχουσών περιοχών που διασχίζει. Επομένως, η ν-στή ευθεία προσθέτει ν περιοχές σε όσες υπήρχαν με ν-1 ευθείες.
    Έτσι μια 4η ευθεία, προστιθέμενη σε άλλες 3, θα προκαλέσει χωρισμό του επιπέδου σε 7+4=11 περιοχές, μια 5η σε 11+5=16 περιοχές, μια 6η σε 16+6=22 περιοχές κ.ο.κ.
    Γενικά με ν συνολικά ευθείες, το επίπεδο χωρίζεται σε Α(ν)=Α(ν-1)+ν περιοχές.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Αν η κλίση κάθε σκάλας ορίζεται από το λόγο του μήκους μεταξύ δύο σημείων της προς την αντίστοιχη υψομετρική διαφορά, τότε αφού οι δύο πύργοι έχουν ίσες κλίσεις στις σκάλες τους και ίσα ύψη, αναγκαστικά και οι σκάλες τους θα έχουν ίσα συνολικά μήκη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Πολύ ωραία! Έτσι είναι βεβαίως, και το ότι οι πύργοι έχουν κύκλική διατομή ή οποιαδήποτε άλλη δεν μας χρειάζεται καθόλου σαν δεδομένο. :-)
      Kαι η ισότητα των κλίσεων δείχνει και το αναγκαίο και ικανό της ομοιομορφίας των σκαλοπατιών (κλίση=ρίχτι(ύψος)/πάτημα(πλάτος)) κι ως γνωστόν τα σκαλοπάτια πρέπει να είναι ομοιόμορφα γιατί αλλιώς υπάρχει ο κίνδυνος ο κόσμος να γκρεμοτσακίζεται. :-)

      Διαγραφή
  4. Για τα 2 πρώτα μεζεδάκια (που είναι σετάκι Επαγωγής, εξού κι ο τίτλος "2+1") η ωραία Επαγωγή του papadim ,δίνει ασφαλώς τις σωστές απαντήσεις στο καθένα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή