Παρασκευή, 3 Ιανουαρίου 2014

$2014$ αριθμητικά

$1. $Tι υπόλοιπο αφήνει η διαίρεση του $6^{2014}$ με το $37$;
$2.$ Αποδείξτε πως το γινόμενο $2014$ διαδοχικών ακεραίων διαιρείται με το $2014!$
$3.$ Αποδείξτε - χωρίς κανέναν τύπο ή φορμαλισμό, μόνο με κάποιο διαισθητικό επιχείρημα- πως ένα σύνολο με $2014$ στοιχεία έχει $2^{2014}$ υποσύνολα. (υπενθυμίζεται πώς υποσύνολο του εαυτού του και κάθε συνόλου είναι και το κενό σύνολο,το ${\emptyset }$ )
$4.$ Πόσα ψηφία, σε δεκαδική βάση, έχει ο αριθμός $2^{2014}$;
ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ!!

15 σχόλια:

  1. Στα 1. και 4. εξυπακούεται πως ζητείται και ο τρόπος εύρεσης,κι όχι μόνο η απάντηση. Βουλφραμάλφες και άλλες απαγορευμένες ουσίες συνιστούν "ντοπάρισμα" και απαγορεύονται αυστηρώς! (επιτρέπονται για έλεγχο απαντήσεων..) :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. $KA \Lambda H \ \ XPONIA! $

    $1.$
    $ 6^{2014}= (6^2)^{1007}= 36^{1006} \times 36 $
    $36^{2}=(37-1) \times (37-1)= 37^{2}-2 \times 37 +1 \equiv 1mod37$
    $(36^2)^{503}= 36^2 \times 36^2 \times \ldots 36^2(503 \ \varphi o \rho\epsilon\ \varsigma) \equiv $
    $1mod37 \times 1mod37 \times \ldots \equiv 1mod37$
    άρα, $ (36^2)^{503} \times 36 \equiv 1mod37 \times 36mod37 \equiv 36mod37$ .
    Άρα υπόλοιπο $36$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Πολύ σωστά, 36.
      Εναλλακτικά , μπορούμε αμέσως να κάνουμε το εξής:
      $6^{2} \equiv -1(mod 37)$ Άρα:
      $ 6^{2014}= (6^{2})^{1007} \equiv (-1)^{1007} \equiv -1 \equiv 36(mod37)$

      Διαγραφή
  5. $2.$
    Στον αριθμό, έστω $A$, γινόμενο $2014$ διαδοχικών στους $2$ αρχικούς αριθμούς ένας θα είναι πολλαπλάσιος τουλάχιστον του $2$, στους $3$ αρχικούς ένας θα είναι πολλαπλάσιος τουλάχιστον του $3$,..., στους $2013$ ένας θα είναι πολλαπλάσιος τουλάχιστον του $2013$ και στους $2014$ ένας θα είναι πολλαπλάσιος τουλάχιστον του $2014$.
    Άρα $A=K \times 1 \times 2 \times 3 \times 2014=K \times 2014!$
    Άρα ο $ 2014!$ διαιρεί το γινόμενο $ 2014$ διαδοχικών ακεραίων, και γενικά ο $N!$διαιρεί το γινόμενο $N$ διαδοχικών ακεραίων.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Προφανώς
      $A=K \times 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 2014=K \times 2014!$

      Διαγραφή
  6. Καλή χρονιά σε όλους τους φίλους!.
    Για το 3:
    Σε ένα τυχόν υποσύνολο του αρχικού συνόλου, καθένα από τα 2014 στοιχεία ή θα ανήκει ή όχι. Έχουμε επομένως 2 δυνατές καταστάσεις για καθένα από τα 2014 στοιχεία, δηλαδή 2^2014 συνδυασμούς συνολικά, καθένας από τους οποίους αντιστοιχεί σε ένα υποσύνολο του αρχικού συνόλου.
    Και μια παρατήρηση: νομίζω πως το κενό σύνολο δεν έχει κανένα στοιχείο (αλλιώς πώς θα ήταν άδειο / κενό), έχει όμως υποσύνολο τον εαυτό του.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Πολύ ωραία Θανάση. Ευχαριστώ και για την επισήμανση της παραδρομής.

      Διαγραφή
  7. Φυσικά, το επιχείρημα που παρουσίασε ο papadim έχει εφαρμογή σε οποιοδήποτε πεπερασμένο σύνολο πληθικού αριθμού $Ν$ που έχει $2^{ν}$ διαφορετικά υποσύνολα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. Για το 4 μια σχετικά απλή, πιθανότατα όχι και η εξυπνότερη δυνατή προσέγγιση, θα ήταν η εξής:
    Λογαριθμίζοντας (σε δεκαδική βάση) και λύνοντας την εξίσωση 2^2014 = 10^χ έχουμε:
    χ = 2014*log2 = 2014*0,30103 = 606,27 περίπου.
    (Ο χ δεν μπορεί να είναι ακέραιος, αφού καμιά δύναμη του 2 δεν έχει το 0 τελευταίο ψηφίο). Επομένως, το πλήθος των ψηφίων του 2^2014 είναι ο αμέσως μεγαλύτερος ακέραιος του χ, δηλαδή 607.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Να προσθέσω κάτι σχετικά με την αιτιολόγηση της απάντησης 607:
      Ισχύει προφανώς: 10^606 < 2^2014 < 10^607
      Ο 10^606 είναι ο μικρότερος 607ψήφιος ακέραιος, ενώ ο 10^607 ο μικρότερος 608ψήφιος. Επομένως ο 2^2014 θα έχει τουλάχιστον 607 ψηφία και οπωσδήποτε λιγότερα από 608. Δηλαδή 607.

      Διαγραφή
  9. Παραπλήσια λύση είχα κάνει και εγώ, αλλά δίστασα να
    την αναρτήσω, από άλγεβρα δεν θυμάμαι σχεδόν τίποτε,
    δεν την συμπαθούσα ούτε στά μαθητικά χρόνια κοντά
    πρό μισού αιώνα! Αλλά αφού μοιάζει με του papadim...
    σωστή θα είναι!
    Έστω 2^x=1000 => x=3*log10/log2=9.96578...
    2014/9.96578=202,09147... άρα
    3*202.09147...=606.27441=607 ψηφία
    (2016/9.96578=202.29224, 202.29224*3=606,8767 ψηφία
    2017/9.96578=202.39258, 202.39258*3=607,1777 ψηφία)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  10. Πολύ σωστά, papadim και Ευθύμιε. $607$ ψηφία.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  11. Μια όψιμη παρατήρηση σχετικά με το θέμα 2: Ανάμεσα στους 2014 διαδοχικούς ακεραίους, είναι πιθανό να βρεθούν και κάποιοι πρώτοι, οι οποίοι δεν έχουν κανέναν άλλο ακέραιο διαιρέτη εκτός από το 1 και τον εαυτό τους, άρα δεν είναι πολλαπλάσιοι ούτε του 2, ούτε του 3, …, ούτε του 2014.

    Μια απλή γενική απόδειξη που καλύπτει όλες τις περιπτώσεις είναι η εξής: Το γινόμενο 2014 διαδοχικών ακεραίων γράφεται και:
    Γ = (α+1)(α+2)...(α+2014) =(α+2014)!/α!, όπου α: ακέραιος.
    Για να διαιρείται ο Γ με το 2014!, θα πρέπει ο:
    Γ/2014! = [(α+2014)!/α!]/2014! = (α+2014)!/(α!*2014!) να είναι ακέραιος. Αλλά η τελευταία έκφραση δεν είναι τίποτε άλλο παρά οι συνδυασμοί α (ή 2014) στοιχείων από α+2014 στοιχεία, δηλαδή ο διωνυμικός συντελεστής C(α+2014,α) που είναι πάντα ακέραιος, ό.έ.δ.
    Η απόδειξη ισχύει για οποιονδήποτε θετικό ακέραιο ν στη θέση του 2014 και φυσικά μας δίνει και το πηλίκο της διαίρεσης.

    ΑπάντησηΔιαγραφή