Κυριακή, 26 Ιανουαρίου 2014

$120^0$

Υπάρχει κάποια χρονική στιγμή κατά την οποία ο ωροδείκτης, ο λεπτοδείκτης και ο δευτερολεπτοδείκτης ενός σωστά ρυθμισμένου ρολογιού να σχηματίζουν γωνίες $120^0$ μεταξύ τους;

8 σχόλια:

  1. Παρεμπιπτόντως, στην ωραία μαθηματική ερώτηση του Σωκράτη ,θα προσθέσω ένα μετφυσικό κουίζ:
    Γιατί, σε ΌΛΕΣ (σχεδόν) τις διαφημίσεις αναλογικών ρολογιών (εκτός από τη φωτό του Σωκράτη, δοκιμάστε ονλάιν να δείτε. Βάλτε ας πούμε μια γνωστή μάρκα στο γκουγκλ-images) η ώρα είναι πάντα 10 και 10 ; :-) Xωρίς πλάκα!
    Το ότι βέβαια η γωνία των 10 και 10 είναι κατάτι μικρότερη των 120 μοιρών είναι προφανές. :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Ορίστε μερικοί λόγοι που βρήκα στο ιντερνετ(το 1ο από αυτά το σκέφτηκα και γω)

    The real reason for the setting? Aesthetics. The 10:10 position gives the clock or watch a number of benefits:

    • The hands are not overlapping, so they're fully and clearly visible and their styling can be admired.

    • The arrangement of the hands is symmetrical, which people generally find more pleasant than asymmetry, making the product more appealing to customers.

    • The manufacturer's logo, usually in the center of the face under the 12, is not only visible but nicely framed by the hands.

    • Additional elements on the face (like date windows or secondary dials), usually placed near the 3, 6, or 9, won't be obscured.

    According to the folks at Timex (who set their products at 10:09:36 exactly), the standard setting used to be 8:20, but this made the face look like it was frowning. To make the products look "happier," the setting was flipped into a smile (occasionally, you'll still see the 8:20 setting on some clocks or watches where the manufacturer's logo is at bottom of the face above the 6).


    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Ωραίος ο Μπάτμαν! :-)
    Nα σου πω την αλήθεια, δεν έχω εντρυφήσει τόσο βαθιά στο θέμα. Φαντάζομαι πως κάποιος έμπειρος διαφημιστής θα μπορούσε ίσως να είναι πιο απόλυτος για το λόγο ή λόγους ,πάντως έχω την αίσθηση πως αυτά που βρήκες είναι υπεραρκετές εξηγήσεις. Ειδικά το "καδράρισμα"/μοστράρισμα της φίρμας "..nicely framed by the hands" θεωρούσα σαν τον πιθανότερο λόγο. Συν ίσως πως στη γωνία αυτή των (περίπου) 120ο μένουν αδρά και τα υπόλοιπα χαρακτηριστικά του καντράν και όι ίδιοι οι δείκτες εκτείνουν το μεγαλείο των ..κορμιών τους (πόδια ατελείωτα) με χάρη! :-)
    Mερσί για τον κόπο Μπάτη!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Μιας και κανείς ,από τους αητούς και σταυραητούς(και νυχτερίδες-τιμωρούς :-) ) που υπερίπτανται εδώ μέσα, δεν καταδέχτηκε το ωραίο προβληματάκι, κάνω εγώ τον καμπόϊα,που λέγαμε μικροί.. :-) κυρίως γιατί αφού αποδείξω πως τέτοιος σχηματισμός δεικτών δεν μπορεί να υπάρξει,ακολούθως θα δείξω τον τρόπο με τον οποίο ΜΠΟΡΕΙ να υπάρξει! :-)
    Kαταρχάς ,οι λόγοι περιστροφής (ή λόγοι γωνιακών ταχυτήτων) ωροδείκτη,λεπτοδείκτη και δευτερολεπτοδείκτη αντίστοιχα είναι:
    $1 /12 / 720$ . Αυτό σημαίνει πως για να έχει λύση το πρόβλημα ,δηλαδή να τριχοτομηθεί ακριβώς ο κύκλος από τους 3 δείκτες θα πρέπει ο λόγος $11 / 719$ να είναι διαφορετικά modulo 3 (Φανταστείτε πως κινείστε μαζί με τον ωροδείκτη--αυτό εξηγεί τον "νέο" ρυθμό σχετικής περιστροφής λεπτοδείκτη και δευτερολεπτοδείκτη και φανταστείτε ένα ρολόι που έχει $0$ στην κορφή (εκεί που είναι κανονικά το $12$) και $1$ και $2$ ανά $(2/3)π$ ) εκεί που κανονικά είναι το $4$ και το $8$ αντίστοιχα) .
    Για κακή μας τύχη , το $11$ και το $719$ είναι και τα δύο $2mod3$ ,πράγμα που σημαίνει πως όταν ε'ίναι ακε΄ραια πολλαπλόσια των $2/3π$ ταυτίζονται. Άρα λύση γιοκ!
    ΚΙ ΟΜΩΣ! Παραλείποντας κάποιες -μάλλον δυσάρεστα περίπλοκες- λεπτομέρειες τριγωνομετρικών υπολογισμών και μπλα-μπλα από τη Θεωρία της Σχετικότητας... προκύπτει πως αν συρικνώσουμε τις οριζόντιες συνιστώσες του λεπτοδείκτη και δευτερολεπτοδείκτη κατά τον σχετικιστικό παράγοντα $γ$ του Λόρεντς $γ=(1/sqrt3)tan(π/3 *(1 + 4/730))$ =(περίπου) $1,0134$
    Και ως γνωστόν η σταθερά $γ$ του Lorentz ισούται με:
    $γ= 1/sqrt(1- v/c^2)$ Λύνοντας προκύπτει:
    $v=0,162c$ (περίπου..)
    Αυτό σημαίνει πως ,για να αλφαδιάσουμε τους τρεις δείκτες ΑΚΡΙΒΩΣ ανά 120ο ,αρκεί απλώς να περιμένουμε μεχρι η ωρα να πάει ακριβώς : 12 και 21 και 41,72 δευτερόλεπτα και να βάλουμε ακαριαία το ρολόι σε έναν πύραυλο που θα κινείται απολύτως κάθετα στον ωροδείκτη , με ταχύτητα $16,2%$ της ταχύτητηας του φωτός! Απλό δεν ήταν; :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. 16,2 % της ταχύτητας του φωτός ($0,162c$ ) στο τέλος του αποπάνω σχολίου.

      Διαγραφή
  5. Θα προτείνω μια εναλλακτική, ίσως λιγότερο συνοπτική, από τη θαυμάσια εξήγηση/απόδειξη του Γιώργου, ελπίζοντας αφενός αυτή να γλιτώνει από τη λεπίδα του Όκκαμ και αφετέρου ο ίδιος να απαλλάσσομαι τουλάχιστον από το βάρος της υποψίας ως νυχτερίδας – τιμωρού :-). Tίτλο αητού και σταυραητού δεν διεκδικώ, έτσι κι αλλιώς.

    Γωνιακές ταχύτητες δεικτών, σε μοίρες / δευτερόλεπτο (μ/δ):
    Ω: 1/120, Λ: 1/10, Δ: 6
    Με χρονική αφετηρία την ώρα 00:00:00 (όπου οι γωνίες μεταξύ των δεικτών είναι όλες 0), σε χρόνο t (σε δ) οι σχετικές γωνίες των Λ και Δ δεικτών ως προς τον Ω, σε μ, είναι:
    Λ-Ω: 11t/120, Δ-Ω:719t/120
    Αυτό σημαίνει ότι η ολική γωνία Λ-Ω γίνεται ακέραιο πολλαπλάσιο των 120 μ ανά ακέραια χρονικά διαστήματα τ1=120*120/11 δ, ενώ σε μοίρες mod360 γίνεται 120 ανά 1mod3 διαστήματα τ1, 240 ανά 2mod3 διαστήματα τ1 και 360 ανά 3mod3 διαστήματα τ1.
    Αντιστοίχως, η ολική γωνία Δ-Ω γίνεται ακέραιο πολλαπλάσιο των 120 μ ανά ακέραια χρονικά διαστήματα τ2=120*120/719 δ, ενώ σε μοίρες mod360 γίνεται 120 ανά 1mod3 διαστήματα τ2, 240 ανά 2mod3 διαστήματα τ2 και 360 ανά 3mod3 διαστήματα τ2
    Για να είναι οι πιο πάνω γωνίες μεταξύ των δεικτών καταρχάς πολλαπλάσιες των 120 μ, θα πρέπει να βρεθούν πρώτα τα ζευγάρια ακεραίων κ και λ, για τους οποίους να ισχύει:
    κ*τ1 = λ*τ2 ==> κ/λ = 11/719, επομένως (κ,λ) = (11,719) ή (22, 1438) ή (33, 2157) κ.ο.κ.
    Για να σχηματίζονται επιπλέον γωνίες 120μ μεταξύ δύο οποιωνδήποτε δεικτών, θα πρέπει η μία από τις πιο πάνω γωνίες Λ-Ω και Δ-Ω να είναι 120 και η άλλη 240 μ.
    Αυτό όμως θα προϋπέθετε να είναι ή κ=1mod3 και λ=2mod3 ή κ=2mod3 και λ=1mod3.
    Σε κάθε περίπτωση όμως από το λόγο κ/λ = 11/719, προκύπτει ότι αναγκαστικά ισχύει: κmod3=λmod3, οπότε σε καμιά περίπτωση δεν μπορούν ταυτόχρονα όλες οι γωνίες μεταξύ των δεικτών να είναι 120 μ.
    Θα πρόσθετα ότι οι πιο κοντινές περιπτώσεις σε σχέση με το (ανέφικτο) ζητούμενο είναι οι κ=11 , λ=719 (ώρα 04:00:00) και κ=22 , λ=1438 (ώρα 08:00:00), όπου οι δείκτες Λ και Δ συμπίπτουν στο 12 (γωνία 0 μεταξύ τους), ενώ ο δείκτης Ω είναι αντιστοίχως στο 4 και το 8, σχηματίζοντας γωνίες 120 μ με καθέναν από τους άλλους.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Θανάση, ωραία η ανάλυσή σου (είναι να μη σε πούνε Λάκωνα,ε; Αρχίζεις τα κατεβατά! :-))
      Νυχτερίδα-τιμωρός είναι ο φίλος σχολιαστής Μπάτμαν!
      Οι υπόλοιποι εκλεκτοί σχολιαστές είστε -αποδεδειγμένα!- σκέτοι αητοί και σταρυραητοί. :-)

      Διαγραφή
  6. Ο Μπάτμαν είναι πράγματι νυχτερίδα (και όνομα και πράγμα, από όσο ξέρω), αλλά τιμωρό δε θα τον έλεγα, ειδικά σε αυτή την περίπτωση που καταπιάστηκε με το πολύ ενδιαφέρον φαινόμενο 10:10 και έδωσε τις πιο πάνω εξαιρετικές εξηγήσεις.
    Τέλος πάντων, πες τον Μπάτμαν, πες τον ..Σπάιντερμαν, αρκεί που δε με αφορά!
    Παρεμπιπτόντως, να ρωτήσω κάτι για τη σχετικιστική εκδοχή του προβλήματος που ανέλυσες. Όταν συμβεί οι δείκτες να σχηματίζουν γωνίες 120, τι ώρα/ες θα είναι ακριβώς? (Ελλάδος ή πυραύλου ή ό,τι άλλο)

    ΑπάντησηΔιαγραφή