Αν ο Πινόκιο πει ότι θα μεγαλώσει η μύτη του και δεν γίνει, θα λέει ψέματα. Αλλά επειδή η μύτη του μεγαλώνει όταν ψεύδεται, αυτή θα πρέπει να μεγαλώσει. Άρα η μύτη του Πινόκιο μεγαλώνει και όταν αυτός λέει την αλήθεια!
Κάντε κλικ εδώ.
▪ $ \int_0^a$
Έστω συνάρτηση
$ f(x)=\frac{a-x}{1-ax}$
με $-1<x<1$ και $0<a<1$.
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα
$ \int_0^a\frac{1-(f(x))^6}{1-x^2}\ dx$.
Japan Calculation Of Integral 2006
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪Μυστηριώδης ακολουθία
Μια ακολουθία θετικών πραγματικών αριθμών ορίζεται ως εξής:
▪ $a_0 = 1$,
▪ $a_{n+2} = 2a_n − a_{n+1}$, για $n = 0, 1, 2, ...$.
Να βρεθεί ο όρος $a_{2005}$.
▪ $a_0 = 1$,
▪ $a_{n+2} = 2a_n − a_{n+1}$, για $n = 0, 1, 2, ...$.
Να βρεθεί ο όρος $a_{2005}$.
▪ Συμφέρει ή όχι;
Θα παίζατε στο καινούργιο παιχνίδι; Ποια είναι η αναμενόμενη μέση τιμή του (ελπίδα);
Σημ: Ένα παιχνίδι θεωρείται "τίμιο"/ισορροπημένο όταν η μαθηματική του ελπίδα (expectation) είναι 0. Αυτό σημαίνει ότι μακροπρόθεσμα σ'αυτό το παιχνίδι τα κέρδη σας εξισορροπούνται από τη χασούρα και έρχεστε " μία ή άλλη" ή "στα λεφτά σας".
▪ Τέσσερις ελάχιστες τιμές
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή των παρακάτω ολοκληρωμάτων:
α) $\int_{-1}^a\left(1-\frac{x}{a}\right)\sqrt{1+x}\ dx$, $a>0$
β) $\int_0^{\frac{\pi}{2}}|\cos x-a|\sin x\ dx$
γ) $ \int_1^e\left|\ln x-\frac{a}{x}\right|dx$, $0\leq a\leq e$
δ) $ \int_{-1}^1\sqrt{|t-x|}\ dt $
ε) $ \int_0^{\pi}(a\sin x+b\sin 2x+c\sin 3x-x)^2\ dx $.
α) $\int_{-1}^a\left(1-\frac{x}{a}\right)\sqrt{1+x}\ dx$, $a>0$
β) $\int_0^{\frac{\pi}{2}}|\cos x-a|\sin x\ dx$
γ) $ \int_1^e\left|\ln x-\frac{a}{x}\right|dx$, $0\leq a\leq e$
δ) $ \int_{-1}^1\sqrt{|t-x|}\ dt $
ε) $ \int_0^{\pi}(a\sin x+b\sin 2x+c\sin 3x-x)^2\ dx $.
Japan Calculation Of Integral 2005
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Δύο τα τετράγωνα
Τα $ABCD, EFGH$ είναι τετράγωνα και τα $a,b,c,d$ τα εμβαδά των αντίστοιχων χρωματισμένων χωρίων.
Να δείξετε ότι $a+c=b+d$.
Πηγή: mathematica (KARAKR)
▪ Το Σίγουρο Στοίχημα
Ο Γιώργος και ο Σωκράτης αποφασίζουν να βάλουν το εξής στοίχημα:
Θα βγάλουν τα πορτοφόλια τους, που μπορεί να περιέχουν ένα τυχαίο ποσό, και όποιος έχει περισσότερα χρήματα θα πρέπει να τα δώσει σ'αυτόν που έχει τα λιγότερα.
Ο Γιώργος σκέφτεται: "Αν έχω περισσότερα από τον Σωκράτη, αυτός θα κερδίσει μόνο ό,τι έχω στο πορτοφόλι μου, αλλά αν έχει αυτός περισσότερα, θα κερδίσω ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ απ'ό,τι έχω τώρα! Άρα το στοίχημα με συμφέρει! Έχω να κερδίσω ,με πιθανότητα 50-50 ,περισσότερα απ'ότι έχω να χάσω! "
▪ Απόδειξη
Έστω $f(x)$=$\frac{e^x}{e^x+1}$. Να αποδειχθεί η ισότητα
$\int_a^b f(x)dx+\int_{f(a)}^{f(b)}f^{-1}(x)dx=bf(b)-af(a)$.
Japan Calculation Of Integral 2005
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪Τηλεοράσεις
Κατά λάθος ένα εργοστάσιο ηλεκτρικών συσκευών έστειλε σε μια παραγγελία 6 ελαττωματικές τηλεοράσεις και 44 κανονικές/σωστές. Μια επιχείρηση αγόρασε (με εντελώς τυχαίο τρόπο, κανείς δεν γνώριζε περί ελαττωματικών) 5 τηλεοράσεις από την παρτίδα των 50.
α) Ποια είναι η πιθανότητα και οι 5 να είναι ελαττωματικές;
β) Ποια είναι η πιθανότητα, τουλάχιστον μία να είναι ελαττωματική;
γ) Ποια είναι η πιθανότητα, μία το πολύ να είναι ελαττωματική;
ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Αυτού του είδους τα προβλήματα είναι γνωστά και ως: "Υπέρ-γεωμετρική κατανομή"
ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Αυτού του είδους τα προβλήματα είναι γνωστά και ως: "Υπέρ-γεωμετρική κατανομή"
▪Περιπλάνηση στο δάσος
Kάποιος εκδρομέας χάνεται στο δάσος. Ξέρει ότι τα 2 πλησιέστερα χωριά είναι το Α με πληθυσμό 10 άντρες και 10 γυναίκες, και το Β με πληθυσμό 4 γυναίκες και 16 άντρες. Παίρνει έναν δρόμο στην τύχη και βρίσκεται σε ένα από τα δύο χωριά. Δεν ξέρει σε ποιο, αλλά βλέπει έναν άντρα.
Ποια είναι η πιθανότητα να βρέθηκε στο Α; Ποια η πιθανότητα να βρέθηκε στο Β; Ή μήπως είναι 50%-50% ;
ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Tυπικό παράδειγμα πιθανότητας τύπου Bayes. Η έξτρα πληροφόρηση που έχουμε αλλάζει την αναμενόμενη πιθανότητα πριν ξεκινήσει το πείραμα. Στην περίπτωση αυτή, η έξτρα καθοριστική πληροφορία είναι ότι είδε έναν άντρα.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Tυπικό παράδειγμα πιθανότητας τύπου Bayes. Η έξτρα πληροφόρηση που έχουμε αλλάζει την αναμενόμενη πιθανότητα πριν ξεκινήσει το πείραμα. Στην περίπτωση αυτή, η έξτρα καθοριστική πληροφορία είναι ότι είδε έναν άντρα.
▪ Ορισμένο ολοκλήρωμα (22-23-24-25-26)
Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα
α) $\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1-x^2}}{a-x}\ dx$, $a>1$
β) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}+3(\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x})\cos 2x}{\sqrt{\sin 2x}}\ dx$
γ) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}\right)^{2}\ dx$
δ) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right)^{2}\ dx$
ε) $\int_{0}^{\pi}\frac{\cos 4x-\cos 4\alpha}{\cos x-\cos\alpha}\ dx$.
α) $\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1-x^2}}{a-x}\ dx$, $a>1$
β) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}+3(\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x})\cos 2x}{\sqrt{\sin 2x}}\ dx$
γ) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}\right)^{2}\ dx$
δ) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right)^{2}\ dx$
ε) $\int_{0}^{\pi}\frac{\cos 4x-\cos 4\alpha}{\cos x-\cos\alpha}\ dx$.
Japan Calculation Of Integral 2006
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com 
▪ $a=?$
Nα βρεθεί ο αριθμός $a$, ώστε να ισχύει
$ \int_{0}^\frac{\pi}{2}(\sin x+a\cos x)^{3}\ dx-\frac{4a}{\pi-2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cos x dx=2$.
Japan Calculation Of Integral 2006
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Γραμμές και σημεία
Στο παρακάτω σχήμα, να βρεθούν οι εξισώσεις των παραβολών $a(x)$ και $b(x)$, των ευθειών $c(x)$ και $d(x)$ και οι συντεταγμένες των σημείων $(r,s)$ και $(u,v)$.
▪ $ln$ - μανία (ΙΙ)
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα
$\int_{e^{e}}^{e^{e+1}}\left\{\frac{1}{ln x\cdot\ln (ln x)}+ln (ln (ln x))\right\}dx$.
Japan Calculation Of Integral 2007
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Έγκεντρο-Παράλληλες
Έστω τρίγωνο $ABC$ και $(C)$ ο περιγεγραμμένος του κύκλος. Η διχοτόμος της γωνίας $\hat A$ τέμνει τον $(C)$ στο σημείο $D$.
Από το έγκεντρο $I$ του τριγώνου $ABC$ φέρνουμε κάθετη στην διάμετρο $DD'$ του $(C)$, που την τέμνει στο σημείο $T$. Αν $M$ το μέσο του $BC$ να δειχθεί ότι: $AT//IM$.
▪ Άθροισμα ολοκληρωμάτων
Να υπολογισθεί το άθροισμα
$\int_{0}^{1}e^{\sqrt{e^{x}}}\ dx+2\int_{e}^{e^{\sqrt{e}}}ln (ln x)dx$.
Japan Calculation Of Integral 2007
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪Μαθηματική διάλεξη
Μαθηματική Ολυμπιάδα Η.Π.Α. - 1986
▪ $f(x)=?$ και $α=?$
Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση $f$ και ο αριθμός $α$, έτσι ώστε να ισχύει
$ \int_{0}^{x}f(t)\ dt=e^{x}-ae^{2x}\int_{0}^{1}f(t)e^{-t}\ dt$
Japan Calculation Of Integral 2006
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Δύο χρυσά και ένα ασημένιο στον «30ο Αρχιμήδη»
Το Σάββατο 23 Φεβρουαρίου έγινε στην Αθήνα ο 30ος «Αρχιμήδης». Από τα Τρίκαλα προσήλθαν και συμμετείχαν οι οκτώ μαθητές που είχαν προκριθεί από τον «Ευκλείδη».
Ο Παναγιώτης Λώλας, μαθητής των Εκπαιδευτηρίων Αθηνά, κατέκτησε και φέτος το πρώτο χρυσό μετάλλιο με βαθμό άριστα 20.
Μεγιστοποίηση γωνίας
Το $T$ είναι σταθερό σημείο της ακτίνας $OA$, του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$, ενώ το σημείο $S$ κινείται επί του τόξου.
Για ποια θέση του $S$, μεγιστοποιείται η γωνία $\widehat {OST}$?
Πηγή: mathematica (KARKAR)
▪ 7 - 4 - 10 - ?
6 2 5 7
8 3 17 7
9 2 9 9
7 4 10 ?
Με ποιο από τους παρακάτω αριθμούς πρέπει να αντικαταστήσουμε το ερωτηματικό;
A. 24 B. 30 C. 18 D. 12 E. 26
▪ Γιώργος Τσίντσιφας: Μαθηματική ιστοσελίδα
Επισκεφθείτε το ιστολόγιο του γνωστού ερευνητή-μαθηματικού Γιώργου Τζίντσιφα με σπουδαία συμβολή και στη μαθηματική μας παιδεία.
Κάντε κλικ εδώ.
▪ Ορισμένο ολοκλήρωμα (18-19-20-21)
Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα
α) $\frac{1}{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2005}x\ \sin{2007x}\ dx}$
β) $\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{3}\frac{2\sin^3 x}{\cos^5 x}dx$
γ) $\int_0^{2\pi}\sin 8x|\sin (x-\theta)|\ dx$, όπου $0\leq\theta\leq\pi$
δ) $\int_0^1\frac{1-x^2}{1+x^2}\frac{dx}{\sqrt{1+x^4}}$.
α) $\frac{1}{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2005}x\ \sin{2007x}\ dx}$
β) $\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{3}\frac{2\sin^3 x}{\cos^5 x}dx$
γ) $\int_0^{2\pi}\sin 8x|\sin (x-\theta)|\ dx$, όπου $0\leq\theta\leq\pi$
δ) $\int_0^1\frac{1-x^2}{1+x^2}\frac{dx}{\sqrt{1+x^4}}$.
Japan Calculation Of Integral 2006
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Ορισμένο ολοκλήρωμα (17)
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα
$\frac{2005\int_0^{1002}\frac{dx}{\sqrt{1002^2-x^2}+\sqrt{1003^2-x^2}}+\int_{1002}^{1003}\sqrt{1003^2-x^2}dx}{\int_0^1\sqrt{1-x^2}dx}$.
Japan Calculation Of Integral 2005
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ $\displaystyle \lim_{n\to\infty}$
α) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα
$ \int_{0}^{\pi}e^{-x}\sin x dx$.
β) Να βρεθεί το όριο
$ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{n\pi}e^{-x}|\sin x| dx$.
Japan Calculation Of Integral 2006
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Εύρεση συνάρτησης
Να βρεθεί συνάρτηση $f$ ορισμένη στο διάστημα $ \left[-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}\right] $, τέτοια ώστε
$ f(x)+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin (x-y)\cdot f(y)\ dy=x+1$.
Japan Calculation Of Integral 2006
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Min - Max
Έστω $a$ θετικός αριθμός. Αν $|x|\leq a $, να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του ολοκληρώματος
$ \int_{x-a}^{x+a}\sqrt{4a^{2}-t^{2}}\ dt$.
Japan Calculation Of Integral 2006
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ $ \frac{I_1}{I_2}=?$
Έστω η συνάρτηση $ f(x)=x^4+|x|$. Αν
$I_1=\int_0^\pi f(\cos x)\ dx$
και
$I_2=\int_0^\frac{\pi}{2}f(\sin x)\ dx$
να βρεθεί ο λόγος $\frac{I_1}{I_2}$.
Japan Calculation Of Integral 2005
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ $a,b,c$
Έστω $a, b,c$ τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου. Αν
$ab + bc + ca = 1$
να αποδειχθεί ότι
$(a + 1)(b + 1)(c + 1) < 4$.
British Math Olympiad Round 1 (2010)
▪ Maximum
Έστω η συνάρτηση $ f(x)=\sqrt{(1-x^2)^3}$. Αν $Μ$ είναι η μέγιστη τιμή $ |f'(x)| $ στο διάστημα $ (-1,\ 1) $, να αποδειχθεί ότι
$ \int_{-1}^1 f(x)\ dx\leq M $.
Japan Calculation Of Integral 2006
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ $ln$ - μανία (Ι)
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα
$\int_{e^{2}}^{e^{3}}\frac{ln x\cdot\ln (xln x)\cdot\ln(xln (xln x))+ln x+1}{ln x\cdot\ln (xln x)}dx$
Japan Calculation Of Integral 2007
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ $999$
Επιλέξτε τέσσερις από τους παρακάτω αριθμούς, που το άθροισμα τους να ισούται με $999$.
Πόσοι τρόποι υπάρχουν;
▪ 7ο Μαθηματικό Καλοκαιρινό Σχολείο - Λεπτοκαρυά Πιερίας
7ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΣΧΟΛΕΙΟ
ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ
30 Ιουνίου – 6 Ιουλίου 2013
Το Δ.Σ. της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας προχωρά στη δημιουργία του 7ου Μαθηματικού Καλοκαιρινού Σχολείου (Μ. Κ. Σ.).
Το 7ο Μ. Κ. Σ. θα λειτουργήσει από 30 Ιουνίου – 6 Ιουλίου 2013 στη Λεπτοκαρυά Πιερίας στο Ξενοδοχείο «OLYMPIAN BAY» 4 αστέρων. (Πληροφορίες στον ιστότοπο: www.reahotels.gr). Το ξενοδοχείο βρίσκεται 2 Km απόσταση από τον Εθνικό Αυτοκινητόδρομο Αθηνών – Θεσσαλονίκης και 1000 μέτρα από την αντίστοιχη σιδηροδρομική γραμμή. Το ξενοδοχείο διαθέτει γήπεδα μπάσκετ, τένις, βόλεϊ, βιβλιοθήκη, υπερσύγχρονο γυμναστήριο και αίθουσα ηλεκτρονικών υπολογιστών. Η διαμονή θα είναι σε δίκλινα και τρίκλινα κλιματιζόμενα δωμάτια.
▪ Ορισμένο ολοκλήρωμα (15-16)
Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα
i) $\int_{-1}^0\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx$
ii) $\int_{-\pi}^{\pi}(\cos2x)(\cos 2^2x)\cdots (\cos 2^{2006}x)dx$.
i) $\int_{-1}^0\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx$
ii) $\int_{-\pi}^{\pi}(\cos2x)(\cos 2^2x)\cdots (\cos 2^{2006}x)dx$.
Japan Calculation Of Integral 2005
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Ορισμένο ολοκλήρωμα (11-12-13-14)
Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα
i) $\int_0^a\sqrt{2ax-x^2}\ dx$, $a>0$
ii) $\lim_{t\rightarrow\frac{\pi}{2}}\int_0^t\tan\theta\sqrt{\cos\theta}\ln (\cos\theta)d\theta$,
όπου $0<t<\frac{\pi}{2}$
iii) $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2004}x\cos 2004x\ dx$
iv) $\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin 2005x}{\sin x}dx$.
i) $\int_0^a\sqrt{2ax-x^2}\ dx$, $a>0$
ii) $\lim_{t\rightarrow\frac{\pi}{2}}\int_0^t\tan\theta\sqrt{\cos\theta}\ln (\cos\theta)d\theta$,
όπου $0<t<\frac{\pi}{2}$
iii) $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2004}x\cos 2004x\ dx$
iv) $\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin 2005x}{\sin x}dx$.
Japan Calculation Of Integral 2005
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Ορισμένο ολοκλήρωμα (9-10)
Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα
i) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{2\pi}{3}}\frac{1}{\sin x\sqrt{1-\cos x}}dx$
ii) $\int_0^1 x^{2005}e^{-x^2}dx$.
i) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{2\pi}{3}}\frac{1}{\sin x\sqrt{1-\cos x}}dx$
ii) $\int_0^1 x^{2005}e^{-x^2}dx$.
Japan Calculation Of Integral 2005
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Ορισμένο ολοκλήρωμα (7-8)
Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα
i) $\int_0^1 e^{x+e^x+e^{e^x}+e^{e^{e^x}}}dx$
ii) $\int_{-\ln 2}^0\ \frac{dx}{\cos^2 h x\cdot\sqrt{1-2a\tanh x+a^2}}$, $a>0$.
i) $\int_0^1 e^{x+e^x+e^{e^x}+e^{e^{e^x}}}dx$
ii) $\int_{-\ln 2}^0\ \frac{dx}{\cos^2 h x\cdot\sqrt{1-2a\tanh x+a^2}}$, $a>0$.
Japan Calculation Of Integral 2005
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Διεθνές συνέδριο Μαθηματικών
Εννέα μαθηματικοί συναντιούνται σε ένα διεθνές συνέδριο και ανακαλύπτουν ότι ανάμεσα σε οποιουσδήποτε τρεις από αυτούς, τουλάχιστον δύο μιλούν μία κοινή γλώσσα. Αν καθένας από τους μαθηματικούς μιλά το πολύ τρεις γλώσσες, να δείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστον τρεις μαθηματικοί που μπορούν να μιλήσουν την ίδια γλώσσα.
Μαθηματική Ολυμπιάδα Η.Π.Α. - 1978
▪ Ξενοδοχείο Digital
Το ξενοδοχείο Digital έχει 30 ορόφους. Το ασανσέρ του ξενοδοχείου σταματάει μόνο στους ορόφους, που είναι πολλαπλάσια των ημερών των αριθμών της εβδομάδας.
Τη Δευτέρα πηγαίνει σε κάθε όροφο.
Την Τρίτη πηγαίνει μόνο σε ορόφους που είναι πολλαπλάσια του 2.
Την Τετάρτη πηγαίνει μόνο σε ορόφους που είναι πολλαπλάσια του 3, και ούτω καθεξής.
Σε ποιον όροφο συμφέρει να έχουμε δωμάτιο, αν σκοπεύουμε να μείνουμε στο ξενοδοχείο για μια εβδομάδα; Οι ανελκυστήρες σταματούν πάντα στο λόμπι, που είναι κάτω από τον πρώτο όροφο.
▪ Ορισμένο ολοκλήρωμα (5-6)
Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα
i)$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{x\cos 5x}{\cos x}dx$
ii) $\int_{-\pi+a}^{3\pi+a}|x-a-\pi|\sin\left(\frac{x}{2}\right)dx$.
i)$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{x\cos 5x}{\cos x}dx$
ii) $\int_{-\pi+a}^{3\pi+a}|x-a-\pi|\sin\left(\frac{x}{2}\right)dx$.
Japan Calculation Of Integral 2005
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Ορισμένο ολοκλήρωμα (4)
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα
$\int_{e^{e^{e}}}^{e^{e^{e^{e}}}}\frac{dx}{x\ln x\cdot\ln (\ln x)\cdot\ln\{\ln (\ln x)\}}$.
Japan Calculation Of Integral 2005
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Από το Λιτόχωρο στο Καίμπριτζ
Στο επεισόδιο αυτό της ΝΕΤ, ταξιδεύουμε στο Λιτόχωρο Πιερίας, στους πρόποδες του Ολύμπου, όπου συναντάμε τον 18χρονο απόφοιτο Λυκείου Χάρη Τσαμπασίδη.
Πρόκειται για ένα ιδιαίτερο ταλέντο στα Μαθηματικά, που με την εργατικότητα του κατόρθωσε από το μικρό χωριό του να διακριθεί επανειλημμένα σε πανελλήνιους και διεθνείς διαγωνισμούς Μαθηματικών.
Λίγο πριν φύγει για να σπουδάσει στο Κέμπριτζ της Αγγλίας, ο Χάρης απαντά στις ερωτήσεις μας για τα Μαθηματικά και την προσωπική του πορεία. Παράλληλα, οι καθηγητές του, ο πατέρας του, και ο Γραμματέας της Μαθηματικής Εταιρείας μιλούν για τον Χάρη και ξεδιπλώνουν την ιστορία του.
▪ Διπλή ανισότητα (Ι)
Να αποδειχθεί ότι
$\frac{(\pi-6+2\sqrt{3})}{12}\leq\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\ln (1+\cos 2x) dx\leq\frac{(2-\sqrt{3})}{4}$.
Japan Calculation Of Integral 2005
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Η χαμένη αξιοπρέπεια της ...Ποσότητας
Σκοπός μου είναι να υπερασπιστώ τη χαμένη και κατασυκοφαντημένη τιμή και αξιοπρέπεια της Ποσότητας έναντι της Ποιότητας!
Η ποσότητα είναι μια κατά βάση παρεξηγημένη έννοια. Η ποσότητα είναι ίσως Η κατεξοχήν ποιότητα!
«ἤθελον Ἠέλιον Ῥόδιοι π̣[εριμάκε]α θεῖναι δὶς τόσον, ..»
Ένας από τους θρύλους που κυκλοφορούν για τον Χάρη τον Λίνδιο και την κατασκευή του Κολοσσού της Ρόδου (ένας άλλος, είναι πως όταν τον τέλειωσε, κάποιος τού επισήμανε μια ατέλεια/ κακοτεχνία κι ο Χάρις αυτοκτόνησε από στενοχώρια και ευθιξία!) είναι ο εξής:
▪ $ (f(2006))^{2005}$
Έστω συνάρτηση $f$ τέτοια ώστε $ f(x)>0 $, για κάθε $ x\geq 0 $ και
$ (f(x))^{2006}=\int_{0}^{x}f(t) dt+1$.
Να βρεθεί η τιμή
$ (f(2006))^{2005}$.
Japan Calculation Of Integral 2006
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Στατιστικές παγίδες για αριστερόχειρες!
Είχε γίνει αρκετός ντόρος για τους αριστερόχειρες στην Αμερική όταν στις 4 Απριλίου του 1991 η μεγάλης κυκλοφορίας και φήμης εφημερίδα Washington Post δημοσίευσε (και μάλιστα πρωτοσέλιδη) μια έρευνα από την οποία προέκυπτε ότι οι αριστερόχειρες ζουν, κατά μέσο όρο, 9 ολόκληρα χρόνια λιγότερο από τους δεξιόχειρες! Η έρευνα βασιζόταν στο στατιστικό δείγμα των θανάτων στην Καλιφόρνια και ήταν βασισμένη σε σωστά στοιχεία και ακριβείς αριθμούς που δείχνανε αδιαμφισβήτητα ότι ενώ οι δεξιόχειρες έφταναν πιο συχνά σε μεγάλες ηλικίες, οι αριστερόχειρες δεν ήταν τόσο τυχεροί.
▪ Δύο δυάρια
β) 8
Σημείωση (για το α) ερώτημα): O αριθμός 0,2 μπορεί να παρασταθεί (όπως γίνεται και διεθνώς) και ως: ,2 ή .2
(Δύσκολο)
▪ Μικρός μαθητής, μεγάλες διακρίσεις
Ο μαθητής Δημήτρης Μελάς κατέκτησε το 1ο βραβείο στον μαθηματικό διαγωνισμό "Ευκλείδης" της Γ' Γυμνασίου και το αργυρό μετάλλιο στην μαθηματική ολυμπιάδα "Αρχιμήδης" των μικρών. Αξίζει να σημειωθεί ότι στον Αρχιμήδη των μικρών συμμετέχουν μαθητές της Β' και Γ' Γυμνασίου. Το εντυπωσιακό είναι ότι ο Δημήτρης Μελάς είναι μαθητής της έκτης τάξης του Δημοτικού!
Ο Δημήτρης είχε διακριθεί και στον περσινό Αρχιμήδη των μικρών, ως μαθητής της Ε' Δημοτικού, κατακτώντας το χάλκινο μετάλλιο!
Συγχαρητήρια Δημήτρη και εις ανώτερα!
▪ Θαμμένο καλώδιο
Σε ένα τετραγωνικό οικόπεδο, χάριν ευκολίας ας θεωρηθεί πλευράς 1, υπάρχει ένα θαμμένο ,σε μικρό βάθος, ευθύγραμμο καλώδιο που διατρέχει (διατέμνει) το οικόπεδο ,αλλά δεν ξέρουμε την διεύθυνσή του. Ποιο είναι το ελάχιστο μήκος δοκιμαστικών εκσκαφών/σκαμμάτων που πρέπει να κάνουμε, ώστε να το εντοπίσουμε σίγουρα;
Μια λύση είναι τo σχήμα X, δηλαδή δύο αλληλοτεμνόμενες στο κέντρο του τετραγώνου εκσκαφές , κατά μήκος των δύο διαγωνίων. Μήκος εκσκαφής: $2\sqrt{2}$.
Υπάρχει "οικονομικότερη" λύση; Δηλαδή με μικρότερο συνολικό μήκος σκάμματος;
Σημ: Το πρόβλημα προέρχεται από το Πανεπιστήμιο Ντιουκ (Duke) της Β.Kαρολίνας (Η.Π.Α).
▪ Αποτελέσματα του μαθηματικού διαγωνισμού "Αρχιμήδης" 2013
30η ΕΘΝΙΚΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ
ΣΑΒΒΑΤΟ 23 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2013
Η βράβευση των μαθητών που διακρίθηκαν στην Εθνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" θα γίνει την Κυριακή 24 Φεβρουαρίου 2013, ώρα 11π.μ. στη Μεγάλη Αίθουσα Τελετών του Πανεπιστημίου Αθηνών.
1. ΚΕΤΣΕΤΣΙΔΗΣ ΡΑΦΑΗΛ - ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ
ΤΑΞΗ Γ
ΒΡΑΒΕΙΟ Α
2. ΜΙΣΙΑΚΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ - ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ
ΤΑΞΗ Γ
ΒΡΑΒΕΙΟ Α
3. ΒΕΝΙΖΕΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ - ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ
ΤΑΞΗ Γ
ΒΡΑΒΕΙΟ Α
4. ΣΥΤΙΛΙΔΗΣ ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΙΛΑΡΙΩΝ - 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ
ΤΑΞΗ Γ
ΒΡΑΒΕΙΟ Α
▪ Φώτης Κόντογλου - Οἱ Νεομάρτυρες, ἡ δόξα τῆς Ἐκκλησίας μας
Τὸ νὰ μιλᾷ κανένας σήμερα καὶ νὰ γράφει γιὰ κάποια πράγματα τῆς θρησκείας, ὁ πολὺς κόσμος τὸ νομίζει γιὰ ἀνοησία. Καὶ ἀκόμα μεγαλύτερη ἀνοησία ἔχει τὴν ἰδέα πῶς εἶναι τὸ νὰ γράφει γιὰ τοὺς ἅγιους μάρτυρες, καὶ μάλιστα γιὰ κείνους ποὺ μαρτυρήσανε κατὰ τὰ νεότερα χρόνια ποὺ βασιλεύανε οἱ Τοῦρκοι ἀπάνω στὴ χριστιανοσύνη, ἐπειδὴς ὁ λίγος καιρὸς ποὺ μᾶς χωρίζει ἀπ᾿ αὐτοὺς κάνει ὦστε νὰ τοὺς νοιώθουμε πολὺ κοντά μας, ἀνθρώπους σὰν κ᾿ ἐμᾶς, ἐνῷ τοὺς ἀρχαίους μάρτυρες τοὺς βλέπουμε μέσα ἀπὸ τοὺς αἰῶνες ποὺ περάσανε ἀπὸ τότε ποὺ μαρτυρήσανε καὶ στὴ φαντασία μας παρουσιάζονται εὐκολότερά με τὸν φωτοστέφανο τοῦ ἁγίου.
Κανένας λαὸς δὲν ἔχυσε τόσο αἷμα γιὰ τὴν πίστη τοῦ Χριστοῦ, ὅσο ἔχυσε ὁ δικός μας, ἀπὸ καταβολὴ τοῦ χριστιανισμοῦ ἴσαμε σήμερα. Κι αὐτὸς ὁ ματωμένος ποταμὸς εἶναι μια πορφύρα ποὺ φόρεσε ἡ ὀρθόδοξη Ἐκκλησία μας, καὶ ποὺ Θά ῾πρεπε νὰ τὴν ἔχουμε γιὰ τὸ μεγαλύτερο καύχημα, κι ὄχι νὰ τὴν καταφρονοῦμε καὶ νὰ μὴ μιλοῦμε ποτὲ γι᾿ αὐτή, καὶ μάλιστα νὰ ντρεπόμαστε νὰ μιλήσουμε γι᾿ αὐτή, σὲ καιρὸ ποὺ δὲ ντρεπόμαστε γιὰ τὶς πιὸ ντροπιασμένες καὶ σιχαμερὲς παραλυσίες ποὺ κάνουνε οἱ ἄνθρωποι στὸν ἀδιάντροπο καιρό μας.
▪ Βράβευση μαθητών για το διαγωνισμό "Ευκλείδης" 2013
73ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ
ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
«Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ»
Η βράβευση των μαθητών που διακρίθηκαν στον πανελλήνιο μαθητικό διαγωνισμό στα μαθηματικά "Ο Ευκλείδης" θα γίνει την Κυριακή 24 Φεβρουαρίου 2013, ώρα 11 π.μ. στη Μεγάλη Αίθουσα Τελετών του Πανεπιστημίου Αθηνών.
Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
1ο Βραβείο
Ξένου Μαρία - 2ο Γυμνάσιο Πεύκης Παύλου Παναγιώτης - 20ο Γυμνάσιο Αθηνών
Χατζής Νικόλαος - Εκπαιδευτήρια Νέα Παιδεία Ντάγκας
2ο Βραβείο
Καραχάλιου Ελένη - Βαρβάκειο Πειραματικό Γυμνάσιο
Κουκάς Αναστάσιος - 59ο Γυμνάσιο Αθηνών
Μπαρτατίλα Αρετή - Ιταλική Σχολή Αθηνών
Τζίφας Χρήστος - 26ο Γυμνάσιο Αθηνών
Ελευθεριάδης Ιωάννης - Κολλέγιο Ψυχικού
Κοπανάς Βασίλειος - Σχολή Μωραΐτη
Μπουραντά Δάφνη - 2ο Γυμνάσιο Πεύκης
Πετράτου Όλγα - Εκπαιδευτήρια Ώθηση
Τάτσης Ιωάννης - Σχολή Μωραΐτη
Χατζηδάκη Αντιγόνη - Κολλέγιο Ψυχικού
Κουκάς Αναστάσιος - 59ο Γυμνάσιο Αθηνών
Μπαρτατίλα Αρετή - Ιταλική Σχολή Αθηνών
Τζίφας Χρήστος - 26ο Γυμνάσιο Αθηνών
3ο Βραβείο
Αλεξανδρής Γαλανόπουλος - Ανδρέας Ι.Μ. Παναγιωτόπουλος Ελευθεριάδης Ιωάννης - Κολλέγιο Ψυχικού
Κοπανάς Βασίλειος - Σχολή Μωραΐτη
Μπουραντά Δάφνη - 2ο Γυμνάσιο Πεύκης
Πετράτου Όλγα - Εκπαιδευτήρια Ώθηση
Τάτσης Ιωάννης - Σχολή Μωραΐτη
Χατζηδάκη Αντιγόνη - Κολλέγιο Ψυχικού
▪ Τρύπια Δεξαμενή
Ένας υδατόπυργος/δεξαμενή τροφοδοτείται με νερό, με σταθερό ρυθμό: 1 λίτρο ανά δευτερόλεπτο. Για κάθε 100 λίτρα νερού που υπάρχουν στη δεξαμενή όμως, διαρρέει νερό με ρυθμό 1 λίτρο ανά δευτερόλεπτο. Αρχικά η δεξαμενή είναι άδεια. Σε πόσο χρόνο θα γεμίσει η δεξαμενή με 50 λίτρα νερό;
▪ H Διάσωση
Ένας άνθρωπος βρίσκεται αποκλεισμένος πάνω σε έναν βράχο, στο κέντρο ακριβώς μιας κυκλικής λίμνης ακτίνας έστω 1.
Στην περιφέρεια, κατά μήκος της όχθης, κινείται ένα λιοντάρι που τον βλέπει σαν μεζέ! Το λιοντάρι μπορεί να τρέξει 4 φορές γρηγορότερα απ' ό,τι κολυμπάει ο άνθρωπος. Υπάρχει τρόπος να βγει στην όχθη χωρίς να γίνει γεύμα για το λιοντάρι;
ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ: Oι ταχύτητες λιονταριού και ανθρώπου παραμένουν σταθερές χωρίς να ξεμένουν από ενέργεια.Το λιοντάρι δεν μπορεί να κολυμπήσει. Αν ο άνθρωπος φτάσει σε κάποιο σημείο της όχθης και το λιοντάρι δεν είναι εκεί,σώθηκε! (τον παραλαμβάνει ένα "ακαριαίο" ελικόπτερο.)
▪ Αύριο η 30η Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης"
ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ
Η 30η Εθνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «Ο ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» θα γίνει αύριο το Σάββατο 23 Φεβρουαρίου 2013.
Ο διαγωνισμός θα διεξαχθεί στην Αθήνα, στο κτίριο του Νέου Χημείου, οδός Ναυαρίνου 13Α, μεταξύ Μαυρομιχάλη και Χαρ. Τρικούπη στις 09.00 – 12.00 π.μ.
Την Κυριακή 24 Φεβρουαρίου 2013 στη Μεγάλη Αίθουσα Τελετών του Πανεπιστημίου Αθηνών και ώρα 11.00 π.μ. θα γίνει η τελετή βράβευσης των μαθητών που θα διακριθούν στον «ΑΡΧΙΜΗΔΗ».
▪ To μεγαλύτερο δημοσκοπικό φιάσκο
Στις αμερικανικές προεδρικές εκλογές το 1936 οι υποψήφιοι ήταν οι Αλφ Λάντον για τους Ρεπουμπλικάνους και Φραγκλίνος Ντ. Ρούζβελτ για τους Δημοκρατικούς. Το Literary Digest, ένα περιοδικό της εποχής με μεγάλη κυκλοφορία κι επιρροή, που είχε κάνει στο παρελθόν επιτυχημένες προβλέψεις για άλλες εκλογικές αναμετρήσεις, διεξήγαγε μια μεγάλη δημοσκόπηση που έμεινε ιστορική για το...φιάσκο της!
Έστειλε ταχυδρομικά γύρω στα 10 εκατομμύρια (!!) ερωτηματολόγια παίρνοντας τις διευθύνσεις από λίστες ιδιοκτητών αυτοκινήτων και τηλεφωνικούς καταλόγους. Επιστράφηκαν στο περιοδικό 2.300.000 ερωτηματολόγια και από αυτά προέκυψε ότι θα κέρδιζε ο Λάντον με αναλογία ψήφων 3 προς 2 έναντι του Ρούζβελτ. Η επεξεργασία των στοιχείων ήταν σωστή και η ειλικρίνεια των απαντήσεων δεδομένη, σε μεγάλο βαθμό.
Όπως ξέρουμε, ο Ρούζβελτ θριάμβευσε με μεγάλη διαφορά (60,8% των ψήφων).
Πού νομίζετε ότι οφείλεται αυτή η ιστορική και παταγώδης αποτυχία;
▪ $Α_{min}$
Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε
$a+b+c\geq6$.
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος
$A=\displaystyle\sum_{cyc}{a^2}+\sum_{cyc}{\frac{a}{b^2+c+1}} $.
Uzbekistan National Olympiad 2011
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Φελλός σε πτώση
Το δοχείο αφήνεται να πέσει από ένα ψηλό κτίριο προς το έδαφος. Τη στιγμή ακριβώς που αρχίζει η πτώση, ελευθερώνεται αυτόματα και ο φελλός.
Τι θα συμβεί στο φελλό κατά τη διάρκεια της πτώσης;
Θα οδηγηθεί προς την επιφάνεια λόγω άνωσης, με τον κανονικό ρυθμό, με αργότερο ρυθμό, με γρηγορότερο ρυθμό; ή καθόλου; δηλαδή θα παραμείνει στον πάτο.
*Η αντίσταση του αέρα να θεωρηθεί μηδενική.
Μετρική έκπληξη
Σε τρίγωνο με πλευρές $a,b,c$ φέραμε το ύψος $AD$ και τα κάθετα προς τις $AC,AB$ τμήματα $DE,DZ$.
Πηγή: mathematica (KARKAR)