Σίγουρα οι περισσότεροι από εμάς έχουμε μια μικρή ή μεγάλη εξοικείωση με το υπολογιστικό λογισμικό Εxcel και αρκετοί πιθανότατα το χρησιμοποιούμε καθημερινά στη δουλειά μας.
Οι μαθηματικές δυνατότητες του Εξέλ είναι αρκετές και ενίοτε μας βγάζουν από δύσκολες και απαιτητικές υπολογιστικά καταστάσεις, με καλή αξιοπιστία και ταχύτητα.
Τα παρακάτω πέντε προβληματάκια πιθανοτήτων έχουν ένα κοινό σημείο. Λύνονται όλα με χρήση ενός και μόνο (το καθένα) τύπου (fx -"εισαγωγή συνάρτησης") που υπάρχουν σε όλες τις στάνταρ εκδόσεις του προγράμματος . Τα προβλήματα 1. 2. και 3. με την ίδια συνάρτηση και τα προβλήματα 4. και 5. με μία άλλη.
1. Από μια εργοστασιακή γραμμή παραγωγής το 1% του προϊόντος βγαίνει ελαττωματικό. Αν το προϊόν συσκευάζεται σε κουτιά των 50 τεμαχίων, ποια είναι η πιθανότητα ένα κουτί να περιέχει 2 ελαττωματικά τεμάχια;
2.Ένας επαγγελματίας μπασκετμπολίστας έχει ποσοστό επιτυχίας 75% στις ελεύθερες βολές. (Θεωρούμε το ποσοστό αυτό σταθερό και ανεπηρέαστο από άλλους παράγοντες. Π.χ πίεση κοινού, κρισιμότητα αγώνα, κ.λ.π) . Ποια η πιθανότητα να πετύχει 8 καλάθια αν πραγματοποιήσει 10 βολές;
2.Ένας επαγγελματίας μπασκετμπολίστας έχει ποσοστό επιτυχίας 75% στις ελεύθερες βολές. (Θεωρούμε το ποσοστό αυτό σταθερό και ανεπηρέαστο από άλλους παράγοντες. Π.χ πίεση κοινού, κρισιμότητα αγώνα, κ.λ.π) . Ποια η πιθανότητα να πετύχει 8 καλάθια αν πραγματοποιήσει 10 βολές;
3. Αν ένα ζευγάρι έχει 4 παιδιά, ποια είναι η πιθανότητα να έχει 2 γιους και 2 κόρες;
4. Αν ένα ασανσέρ χαλάει κατά μέσο όρο 2 φορές το χρόνο, ποια είναι η πιθανότητα να μην χαλάσει καθόλου κατά τη διάρκεια ενός έτους;
5.Η Ιστοσελίδα eisatopon.blogspot.com δέχεται κατά μέσο όρο 100 μοναδικές επισκέψεις την ημέρα (θεωρούμε ότι ο μέσος όρος είναι ο ίδιος για κάθε μέρα της εβδομάδας και δεν διαφοροποιείται λόγω αργιών ,κ.λ.π). Ποια είναι η πιθανότητα να δεχτεί κάποια μέρα λιγότερες από 80 επισκέψεις;
Και ένα κουίζ:
Ποια η σχέση των προβλημάτων 4. και 5., με τα γκολ που μπαίνουν στους αγώνες ενός πρωταθλήματος ποδοσφαίρου, και με τον αριθμό των νεκρών στρατιωτών από κλωτσιά αλόγου στα 14 σώματα του Πρωσικού στρατού κατά την περίοδο 1875-1894 ;
@ RIZOPOULOS GEORGIOS
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ χρήση του Εξέλ είναι υποχρεωτική -όπως το αντιλαμβάνομαι και κρίμα που πάνω που άρχισα να ξεκαθαρίζω τις Πιθανότητες-Στατιστική-Συνδυαστική σκοντάφτω στο Εξέλ, ανήκω στους λιγότερους που δεν το γνωρίζουν- ή απλά συνιστάται για τους υπολογισμούς προαιρετικά?
Υποχρεωτική; Όχι. Δεν είμαι ιεροεξεταστής.. :-)
ΔιαγραφήEξυπακούεται ότι οποιαδήποτε λύση είναι καλοδεχούμενη και επιθυμητή! Απλώς, τα προβλήματα ενδείκνυνται για χρήση κάποιων σχετικά άγνωστων νομίζω δυνατοτήτων-τύπων του Εξέλ σε σχέση με πιθανοτικές κατανομές , ειδικά το ένα (το 5.) είναι θεωρώ απαιτητικό υπολογιστικά και θέλησα να επισημάνω αυτό το γεγονός, μιας και είναι ένα πρόγραμμα που υπάρχει στους περισσότερους υπολογιστές.
Τα προβλήματα 1,2,3 είναι ομοειδή και λύνονται με τον ίδιο τρόπο. Σαν δεδομένο έχουμε ένα πείραμα που επαναλαμβάνεται n φορές με δυο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία-αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας p για το κάθε πείραμα (και (1-p) για την αποτυχία) και
ΑπάντησηΔιαγραφήζητείται η πιθανότητα Π για να έχουμε k επιτυχίες και λύνονται με την συνάρτηση της διωνυμικής κατανομής:
Π (Χ=k)=C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 έχουμε pκαλό=1-0.01=0.99, pελατ=0.01 και
ζητείται η πιθανότητα Π για 48 καλά προϊόντα (2 ελατ)
σε δείγμα 50 προϊόντων
Π (X=48)=C(50,48)*0.99^48 0.01^2=50!/48!2! * 0.99^48 0.01^2=0.07562
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 Έχουμε pεπ=0.75, pαπ=(1-0.75)=0.25 και ζητείται η πιθανότητα Π να επιτευχθούν k=8 καλάθια σε n=10 βολές
Π (Χ=8)=10!/8!*2! *0.75^8 * 0.25^2 =0.28157
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 Έχουμε pαγόρι=0.50, pκορι=(1-0.50)=0.50
(δεν μας δόθηκε η pαγόρι, την εξέλαβα 0.5) και μας ζητείται η Π για k=2 αγόρια (και 2 κορίτσια) στα n=4 παιδιά
Π(Χ=2)=4!/2!*2! *0.5^2 *0.5^2=0.375
2 Λύση (δένδρο και κλωνάρια)
Δειγματικός χώρος ΑΑΑΑ, ΑΑΑΚ, ΑΑΚΑ, (ΑΑΚΚ), ΑΚΑΑ, (ΑΚΑΚ),(ΑΚΚΑ),ΑΚΚΚ, ΚΑΑΑ, (ΚΑΑΚ), (ΚΑΚΑ), ΚΑΚΚ, (ΚΚΑΑ), ΚΚΑΚ,ΚΚΚΑ ,ΚΚΚΚ. Παρατηρούμε ότι τα ευνοϊκά αποτελέσματα είναι 6 σε σύνολο 16.
Άρα Π=6/16=0.375
Πολύ σωστή και ωραία ανάλυση.
ΔιαγραφήΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ (4) και (5)
ΑπάντησηΔιαγραφήΤα προβλήματα (4) και (5) είναι επίσης ομοειδή, μιας άλλης κατηγορίας προβλημάτων και τα οποία λύνονται με ίδιο τρόπο.
Σε αυτήν την κατηγορία προβλημάτων έχουμε την μέση τιμή αριθμού εμφανίσεων ενός γεγονότος (λ) σε ένα ορισμένο χρόνο και μας ζητείται η πιθανότητα Π να υπάρξουν k εμφανίσεις του γεγονότος αυτού.
Η λύση δίνεται απ;o την κατανομή Poisson, συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής που περιγράφει τον αριθμό εμφανίσεων ενός γεγονότος σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα και η πιθανότητα δίνεται από τον τύπο Πλ(χ=k)=λ^k/k!*e^λ
Πρόβλημα 4
Έχουμε λ=2 (φορές τον χρόνο χαλάει το ασανσέρ) και μας ζητείται η πιθανότητα για κ=0 (να μην χαλάσει καθόλου στη διάρκεια ενός έτους)
Π2(K=0)=2^0/0!*e^2=1/1*2.718281828^2 = 0.13533528..
Πρόβλημα 5
Έχουμε λ=100( μοναδικές επισκέψεις την ημέρα κατά Μ.Ο.) και μας ζητείται η πιθανότητα Π για k=80(εμφανίσεις κάποια ημέρα)
Π100(k=80)=100^80 /80!*e^100 =
10^160/(7.159946*10^118 *2.688117^43)=
(1/19.266773)*10^(160-118-43)=(1/19.266773)*10^-1=0.005196
H διωνυμική κατανομή , όπως πολύ ωραία το ανέλυσε ο Ε.Αλεξίου, είναι η δημοφιλέστερη και χρησιμότερη (μαζί με την άλλη που έχει εφαρμογή στα προβλ. 4. και 5.)κατανομή πιθανότητας διακριτών μεταβλητών και η γενίκευση της εφαρμοσιμότητάς της ,από τη ρίψη n κερμάτων, στην πραγματοποίηση n πειραμάτων με αντιστοιχία από το: p=κορώνα (1-p)=γράμματα στα: p=επιτυχία, (1-p)=αποτυχία ,με p=σταθερό κατα τη διάρκεια των πειραμάτων ,όντως πολύ χρήσιμη . Και ακριβώς όπως η πιθανότητα να έρθει x φορές κορώνα σε n ρίψεις ,έτσι και η πιθανότητα να έχουμε x επιτυχίες σε n πειράματα ,δίνεται από τον τύπο που παρέθεσε ο Αλεξίου:
ΑπάντησηΔιαγραφήP= n!/(x!(n-x)! *p^x *(1-p)^(n-x)
Aυτή η έκφραση της διωνυμικής κατανομής υπάρχει ενσωματωμένη στην συνάρτηση (fx "εισαγωγή συνάρτησης") :BINOMDIST του Εξέλ. (εκ του: Binomial distribution=διωνυμική κατανομή).
Όταν την επιλέξουμε : =BINOMDIST(... δίνει:
BINOMDIST(number_s;trials;probability_s;cumulative)
H τελευταία τιμή (cumulative)μετά την πιθανότητα επιτυχίας (probability), είναι για να υποδείξουμε αν θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθαν. για τον ακριβή αριθμό επιτυχιών. (για παράδειγμα όπως στο προβλ. 1, να έχουμε ακριβώς 2 ελλατ. κομμάτια)οπότε και βάζουμε:0 ,ή την αθροιστική(cumulative)πιθανότητα μέχρι την εν λόγω τιμή (να έχουμε δηλ. από 2 ελαττωματικά και κάτω), οπότε βάζουμε: 1.
M'έκοψε η λογοκρισία! :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήΣυνεχίζω από πριν:
Bάζοντας λοιπόν (για το προβλ.1):
=BINOMDIST(2;50;0.01;0) και πατώντας ΕΝΤΕR ,εμφανίζεται στο κελί το αποτέλεσμα:0.075618042
Πολύ ωραία ανάλυση κε Αλεξίου! Ευχαριστώ θερμά για τα σχόλιά σου!
ΑπάντησηΔιαγραφήΜια μικρή ιστορική αναδρομή-ανάλυση:
To διωνυμικό μοντέλο (προβλ.1. 2. και 3.) είναι το κατάλληλο και το ακολουθεί μία μεταβλητή ,όταν μπορεί να υπολογιστεί τόσο το πλήθος των εμφανίσεων ενός συμβάντος(επιτυχίες) όσο και των μη-εμφανίσεών του (π.χ αριθμός ελαττωματικών προιόντων στο 1.) ΚΑΙ ΕΠΙΠΛΕΟΝ υπάρχει και ένα ανώτατο όριο στον αριθμό των εμφανίσεων! Ας πούμε στο προβλ.1, ο μέγιστος αριθμός των μη ελαττωματικών προιόντων θα είναι ο συνολικός αριθμός των διαθέσιμων κομματιών.
Σε κάποιες περιπτώσεις όμως, έχουμε διακριτές μεταβλητές που περιγράφουν το πλήθος των εμφανίσεων ενός συμβάντος στη μονάδα του χρόνου (όπως επεσήμανε και ο κος Αλεξίου) ή του χώρου, έτσι ώστε δεν έχει νόημα να υπολογιστεί η μή-εμφάνισή του και ΔΕΝ υπάρχει ανώτατο όριο, τουλάχιστον όχι θεωρητικά.
Τυπικά παραδείγματα τετοιου είδους μεταβλητών είναι αυτές που εμφανιζονται στα προβλήματα 4. και 5. ή ας πούμε ο αριθμώς των κλήσεων που δεχεται ενα τηλεφ. κέντρο ή ο αριθμός των e-mail που ΄παίρνουμε καθημερινά ή πόσες σταφίδες υπάρχουν σε μια κουταλιά δημητριακών κάποιας μάρκας, ή πόσα σκουριασμένα σημεία υπάρχουν ανά 100 μέτρα δομικού σιδήρου :-)
Το 1837 ο σπουδαίος Γάλλος μαθηματικός (και όχι μόνο! Με συνεισφορες σημαντικές σε διάφορους τομείς, όπως η Μηχανική. Ποιος μηχανικός δεν ξέρει τον λόγο ν του Πουασόν σε σχέση με τις ορθές και διατμητικές τάσεις;) Σιμεόν Πουασόν (Simeon Poisson) ασχολήθηκε με αυτό το πρόβλημα, ουσιαστικά αναζητώντας ένα τρόπο να τροποποιήσει τον τύπο της διωνυμικής κατανομής ώστε να εφαρμόζεται σε τετοιες περιπτώσεις και βρεθηκε μπροστα σε μια περιεργη έκφραση στην ο[ποια αρκει να γνωριζουμε τον ΜΕΣΟ ΑΡΙΘΜΟ ΤΩΝ ΣΥΜΒΑΝΤΩΝ (λ) για να μπορέσουμε να υπολογισουμε την πιθαν. εμφάνισης.
Ο τύπος είναι P(x)= e^(-λ)*λ^x / x!
Έτσι, στο πρόβλημα 4. ακριβώς όπως τα γράφει ο Ε.Αλεξίου. Στο 5. όμως δεν ζητειται η πιθανότητα για κ(ή x)=80, αλλά η πιθανότητα ο ιστότοπος να δεχτει λιγότερες από 80 επισκέψεις. Δηλαδή η:
P(x<80)= Σ(από ν=0 έως ν=79) e^(-100) * 100^ν / ν! , το οποίο δεν έιναι ακριβώς "εύκολο" να υπολογιστεί ,αλλά γι'αυτό το σκοπό υπάρχουν τα υπολογιστικά φύλλα (όπως το Εξέλ).
Επιλέγοντας : fx-- =POISSON (79;100;1) μας δίνει το σωστό αποτέλεσμα: 0,017451323
(Για "ακριβώς 80" βάζουμε στο πεδίο "cumulative" :0 αντί για 1 ,δηλαδή POISSON (80, 100, 0) και έχουμε P(x=80)=0,005198.)
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια το κουίζ:
To 1898 o ρωσικής καταγωγής οικονομολόγος και στατιστικολόγος Ladislaus Bortkiewicz παρουσίασε ένα βιβλίο στο οποίο έδειχνε ότι η κατανομη Poisson μπορούσε να εξηγήσει τη στατιστική κανονικότητα που παρατηρείται στην πραγματοποίηση σπάνιων ενδεχομένων.
Γενικά, χρησιμοποίησε κυρίως δεδομένα από τυχαίους θανάτους και αυτοκτονίες, αλλά το πιο διάσημο παράδειγμά του είναι αυτό του αριθμού των νεκρών σταρτιωτών από κλωτσιά αλόγου, στον πρωσικό στρατό σε μια περίοδο 20 ετών (1875-1894). Η "παρατηρούμενη συχνότητα" των δεδομένων που είχε ο Μπορτκίεβιτς εκφραζόταν -σχεδόν τέλεια- από το θεωρητικό μοντέλο του Poisson.
Aρ. θανάτων από κλωτσιά: 0 , Παρ.συχνότητα=144 , Θεωρητική συχνότητα(Poisson)=139
Aρ.Θαν=1 , Π.ΣΥΧ=91 ,Θ.Σ=97
Αρ.Θαν.=2 , Π.Συχν=32, Θ.Σ=34
...........=3 , Π.Σ=11, Θ.Σ=8
..........=4 , Π.Σ=2 , Θ.Σ=1
Αρ.Θαν. >5 , Π.Σ=0 , Θ.Σ=0
Ομοίως, και τα γκολ που μπαίνουν σε ένα πρωτάθλημα ποδοσφαίρου ακολουθούν την κατανομή Poisson!
To μοντέλο του Poisson εξηγεί καλά τη διακύμανση αυτού του αριθμού των τερμάτων!
Οι στατιστικολόγοι-μαθηματικοί Πέρε Γκρίμα (αυτός είναι και φανατικός οπαδός της Μπάρτσα! :-) ) και Ζόρντι Ερνάντες, μπήκαν στον κόπο να συλλέξουν και να μελετησουν στατιστικά στοιχεία από τους 380 αγωνες του Ισπανικού πρωταθλήματος της περιοδου 2008-2009 και το πιστοποίησαν! (φαίνεται ωραία το αποτέλεσμα σε ένα ιστόγραμμα, αλλά το περιγράφω με "λόγια):
Τέρματα ανά ομάδα =0 Συχνότητα=192 Poisson= 179
T.α.ο= 1 , Σ=257, Θ.Σ=259
Τ.α.ο=2 , Σ=164 , Θ.Σ=187
Τ.α.ο=3, Σ=96 , Θ.Σ=90
Τ.α.ο=4 ,Σ=35 ,Θ.Σ=33
Τ.α.0=5 ,Σ=9 ,Θ.Σ=9
Τ.α.ο= 6 , Σ=6 ,Θ.Σ=2
Τ.α.ο=7 , Σ=1 ,Θ.Σ=0
Eπίσης, για να μην τα ακούσω και από τον Σωκράτη..:-) , το eisatopon δεν δέχεται -κατα μέσο όρο- 100 μοναδικές επισκέψεις, αλλά πολυ περισσότερες. Απλώς, είπα να βάλω έναν "στρόγγυλο" αριθμό στο πρόβλημα. :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήΕλπίζοντας να μην έτριξαν πολύ τα κόκκαλα του Σιμεόν Ντενί, να διορθώσω το έκτρωμα που έγραψα βιαστικά σχετικά με το λόγο ν (ή μ στη γερμαν.βιβλιογραφία) του Πουασόν. Το ν λοιπόν δεν έχει να κάνει με ορθές και διατμητικές τάσεις ,αλλά με λόγο παραμορφώσεων στην διεύθυνση της κύριας τάσης και στην κάθετη σ'αυτή.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠ.χ για μια μεταβολή μήκους ελαστικού σώματος υπό ορθό αξονικό φορτίο ( εφελκυσμό ή θλίψη) έστω Δl/l(0), ο λόγος ν του Poisson δίνει τη σχετική μεταβολή Δd/d(0) στην κάθετη διεύθυνση σαν:
Δd/d(0)= -ν*Δl/l(0)