Κυριακή, 14 Απριλίου 2013

▪ 20 προβλήματα Γεωμετρίας για μαθηματικούς διαγωνισμούς

 Του Ανδρέα Πούλου 
Τα παρακάτω προβλήματα προέρχονται από το βιβλίο των Ν. Βασίλιεφ και Α. Γιεγκόροφ «Πανενωσιακές Μαθηματικές Ολυμπιάδες της ΕΣΣΔ, 1961-1991», τόμος 1ος, στην ελληνική τους έκδοση από τον εκδοτικό οίκο Κάτοπτρο, Αθήνα, 1997. Τα προβλήματα αυτά επιλέχθηκαν με κριτήριο να μην είναι υπερβολικά δύσκολα, ενώ ταυτόχρονα να περιέχουν ευφυείς ιδέες και τεχνικές που να βοηθούν στην επίλυση και άλλων διαγωνιστικών προβλημάτων
1. Θεωρούμε τέσσερεις κύκλους με ακτίνες $ρ_1, ρ_2, ρ_3$ και $ρ4$, τα κέντρα των οποίων είναι οι τέσσερεις κορυφές ενός ορθογωνίου και ισχύει $ρ_1 + ρ_3 = ρ_2 + ρ_4 < d$, όπου d είναι η διαγώνιος του ορθογωνίου. Φέρουμε δύο ζεύγη εξωτερικών εφαπτομένων των κύκλων $ρ_1, ρ_3$ και $ρ_2, ρ_4$ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο που σχηματίστηκε από αυτές τις τέσσερεις ευθείες είναι περιγράψιμο σε κύκλο. (1η Πανρωσική Ολυμπιάδα, 1961).
2. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓΔ θεωρούμε τα σημεία Α΄, Β΄, Γ΄, Δ΄, για τα οποία ισχύουν: ΒΒ΄= ΑΒ, ΓΓ΄= ΒΓ, ΔΔ΄= ΓΔ΄ και ΑΑ΄= ΔΑ΄. Να αποδείξτε ότι το εμβαδόν του τετραπλεύρου Α΄Β΄Γ΄Δ΄ είναι πενταπλάσιο από το εμβαδόν του ΑΒΓΔ. (2η Πανρωσική Ολυμπιάδα, 1962).
3. Από το μέσο Μ της βάσης ΑΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε την κάθετο ΜΗ στην πλευρά ΒΓ. Το σημείο Ρ είναι το μέσο του τμήματος ΜΗ. Να αποδείξετε ότι το ΑΗ είναι κάθετο στο ΒΡ. (2η Πανρωσική Ολυμπιάδα, 1962).
4. α) Κάθε μία από τις διαγώνιες ενός κυρτού τετραπλεύρου το διαιρεί σε δύο ισεμβαδικά σχήματα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. β) Δίνεται κυρτό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ. Αν κάθε μία από τις διαγώνιες ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ το διαιρεί σε δύο ισεμβαδικά σχήματα, να αποδείξετε ότι οι τρεις αυτές διαγώνιοι έχουν ένα κοινό σημείο. (3η Πανρωσική Ολυμπιάδα, 1963).
5. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 1. Ένα τμήμα μήκους δ ολισθαίνει με τα άκρα του πάνω στις πλευρές του τριγώνου. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του δ, ώστε το τμήμα αυτό ολισθαίνοντας να σαρώνει ολόκληρο το τρίγωνο; (3η Πανρωσική Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1963).
6. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τις διχοτόμους των γωνιών Α και Β. Κατόπιν φέρουμε από την κορυφή Γ ευθείες παράλληλες προς τις δύο διχοτόμους. Τα σημεία Δ και Ε είναι τα σημεία τομής των ευθειών αυτών με τις διχοτόμους. Αν ΔΕ // ΑΒ, τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. (3η Πανρωσική Ολυμπιάδα, 1963).
7. Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος μη αλληλοκαλυπτόμενων τετραέδρων με τα οποία είναι δυνατόν να χωριστεί ένας κύβος; (4η Πανρωσική Ολυμπιάδα, 1964).
8. α) Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος ΑΗ, που είναι το μεγαλύτερο από τα ύψη του τριγώνου, είναι ίσο με τη διάμεσο ΒΜ. Να αποδείξετε ότι η γωνία ΑΒΓ δεν είναι μεγαλύτερη από 60ο.
β) Αν το ύψος ΑΗ ενός οξυγωνίου τριγώνου είναι ίσο με τη διάμεσο ΒΜ και με τη διχοτόμο ΓΔ, να αποδείξετε ότι το ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. (1η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1967).
9. Οι διάμεσοι χωρίζουν ένα τρίγωνο ΑΒΓ σε έξι τρίγωνα. Διαπιστώθηκε ότι οι τέσσερεις από τους εγγεγραμμένους κύκλους σε αυτά τα τρίγωνα είναι ίσοι. Αποδείξτε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. (2η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1968).
10. Ο εγγεγραμμένος κύκλος σε τρίγωνο ΑΒΓ εφάπτεται στην πλευρά ΑΓ στο σημείο Κ. Αποδείξτε ότι η ευθεία που συνδέει το μέσον της πλευράς ΑΓ με το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου, διχοτομεί το τμήμα ΒΚ. (2η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1968).
11. Δίνεται κύκλος, μία διάμετρός του ΑΒ και ένα σημείο Γ πάνω στη διάμετρο ΑΒ. Να κατασκευάσετε στον κύκλο δύο σημεία Χ και Υ, συμμετρικά ως προς τη διάμετρο ΑΒ, τέτοια ώστε η ευθεία ΥΓ να είναι κάθετη στην ευθεία ΧΑ. (4η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1970).
12. Πόσες πλευρές μπορούν να έχουν μήκος ίσο με το μήκος της μέγιστης διαγωνίου ενός κυρτού πολυγώνου; (4η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1970).
13. Έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων ενός κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓΔ. Αποδείξτε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία τομής των διαμέσων των τριγώνων ΑΟΒ και ΓΟΔ είναι κάθετη στην ευθεία, η οποία διέρχεται από τα σημεία τομής των υψών των τριγώνων ΒΟΓ και ΑΟΔ. (6η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1972).
14. Το σημείο Ο, που βρίσκεται στο εσωτερικό ενός κυρτού πολυγώνου, σχηματίζει ισοσκελές τρίγωνο με οποιεσδήποτε δύο κορυφές του. Αποδείξτε ότι το σημείο αυτό ισαπέχει από τις κορυφές του πολυγώνου. (6η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1972).
15. Δίνεται γωνία με κορυφή Ο και κύκλος που εφάπτεται των πλευρών της γωνίας στα σημεία Α και Β. Από το σημείο Α φέρουμε ημιευθεία παράλληλη προς την ΟΒ, η οποία τέμνει τον κύκλο στο σημείο Γ. Το ευθύγραμμο τμήμα ΟΓ τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ε, ενώ οι ευθείες ΑΕ και ΟΒ τέμνονται στο σημείο Κ. Αποδείξτε ότι ΟΚ = ΚΒ. (7ηΠανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1973).
16. Δίνεται ένα κυρτό ν-γωνο με παράλληλες κατά ζεύγη τις πλευρές του και ένα σημείο στο εσωτερικό του. Αποδείξτε ότι δεν είναι δυνατόν να φέρουμε από το σημείο αυτό περισσότερες από ν ευθείες, καθεμία από τις οποίες να διχοτομεί το εμβαδόν του ν-γώνου. (7η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1973).
17. Δίνεται ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ. Τα σημεία Ρ και Κ ανήκουν στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα, έτσι ώστε ΒΡ = ΒΚ. Έστω Η το ίχνος της καθέτου, που άγεται από το σημείο Β προς την ΡΓ. Αποδείξετε ότι η γωνία ΔΗΚ είναι ορθή. (8η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1975).
18. Τρεις μύγες κινούνται πάνω στις πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ, έτσι ώστε το κέντρο βάρους του τριγώνου που σχηματίζουν να μένει στην ίδια θέση. Αποδείξτε ότι αυτό συμπίπτει με το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ. (Κέντρο βάρους είναι το σημείο τομής των διαμέσων του.) (9η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1976).
19. Έστω δύο ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα. Οι κορυφές του μικρότερου τριγώνου βρίσκονται πάνω στις τρεις πλευρές του μεγαλύτερου τριγώνου (κάθε κορυφή σε διαφορετική πλευρά). Να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του λόγου των εμβαδών αυτών των τριγώνων. (13η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1979).
20. Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ διαιρείται από τις διαγώνιές του σε τέσσερα τρίγωνα. Αν οι ακτίνες των τεσσάρων εγγεγραμμένων κύκλων στα τρίγωνα αυτά είναι ίσες μεταξύ τους, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος. (13η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1979).
Πηγή: andreaspoulos

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου