R.G.Park (Foundations of Structural Geology (2004))
H στερεογραφική προβολή είναι μια από τις πλέον γνωστές και σίγουρα η πλέον χρησιμοποιούμενη αζιμουθιακή προβολή, καθώς και μία από τις πλέον διαδεδομένες στη χαρτογραφία. Αποδίδεται στον Ίππαρχο εκ Νικαίας, αν και είναι πιθανό να ήταν ήδη γνωστή στους Αιγυπτίους. Η αρχαιότερη πηγή που έχουμε σχετικά είναι ένα έργο του Πτολεμαίου με τον λατινικό τίτλο: Sphaera a planetis projectio in planum (Σφαίρα και πλανήτης προβεβλημένα στο επίπεδο). Το πρωτότυπο ελληνικό κείμενο δεν διασώθηκε και την γνώση μας επ' αυτού την οφείλουμε στον Άραβα μαθηματικό γνωστό σαν Μασλαμά ή Αλ Μαζρίτι ,για τον οποίον αξίζει μια εκτενής αναφορά.
Ο Αμπού αλ Κασίμ Μασλαμά Ιμπν Άχμαντ αλ Φαραντί αλ Χασίμπ αλ Κουρτουμπί αλ Μαζρίτι γεννήθηκε στη Μαδρίτη ,περίπου το 1000 μ.Χ. ("Αλ Μαζρίτι σημαίνει "ο Μαδριλένος").
Σε νεαρή ηλικία ήρθε σε επαφή με τους επιστήμονες που εισήγαγαν την ελληνική γνώση και επιστήμη στην Κόρδοβα ειδικά, και γενικότερα στην Ανδαλουσία. Ίδρυσε την δική του σχολή στην Κόρδοβα και η φήμη του σαν πνευματικού ανθρώπου ήταν πολύ μεγάλη. Απέκτησε το προσωνύμιο "Ο ανδαλουσιανός Ευκλείδης" και "Πρίγκηπας των ανδαλουσιανών Μαθηματικών". Η σχολή του μάζευε φιλομαθείς από ολόκληρη την Ανδαλουσία και ευρύτερα.
Μεταξύ των πολλαπλών συνεισφορών του διακρίνονται οι εξής:
Μετάφραση στα Αραβικά του Επιπεδοσφαίριου του Πτολεμαίου, έργο του οποίου το πρωτότυπο όπως και η πηγή του δεν έχουν βρεθεί. Το Επιπεδοσφαίριο μεταφράστηκε ,με την προσθήκη των σχολίων του Αλ Μαζρίτι, στα λατινικά και εβραϊκά.
Συνέγραψε μια μελέτη για την κατασκευή του αστρολάβου , αναπροσάρμοσε στον μεσημβρινό της Κόρδοβας τους πίνακες του Αλ-Κουαρίζμι (ο γνωστός μας κύριος "Αλγόριθμος") και Αλ-Μπατανί, πίνακες τους οποίους έκανε ακριβέστερους και πιο εύκολους στη χρήση.
Έγραψε επίσης ένα εγχειρίδιο "εμπορικής αριθμητικής" , ένα έργο αστρονομίας και προσδιόρισε το γεωγραφικό μήκος του άστρου "Καλμπ Αλ Άσαντ" (ο σημερινός "Βασιλίσκος")
Υπήρξε ,όπως πολλοί Άραβες σοφοί, θεματοφύλακας της ελληνικής γνώσης σε δύσκολους καιρούς γι'αυτήν τη γνώση και το σεβασμό της...
Επανερχόμενοι στο "Sphaera a planetis.." του Πτολεμαίου , και αφού αναλύσαμε λίγο την ιστορική διαδρομή των έργων, αυτό εμφανίζεται "επίσημα" για πρώτη φορά το 1507, σαν παράρτημα στην έκδοση "Γεωγραφική Υφήγησις" με τον τίτλο Planisphaerium Ptolemai (Πτολεμαίου Επιπεδοσφαίριο)
Εκεί περιγράφεται το βασικό εργαλείο που χρησιμεύει στον προσδιορισμό της θέσης των άστρων στην ουράνια σφαίρα, του Αστρολάβου. Η εφαρμογή αυτής της τεχνικής βασίζεται στην Στερεογραφική προβολή. Να σημειωθεί εδώ ότι ο Πτολεμαίος αποκαλούσε την προβολή που του αποδίδεται "Επιπεδοσφαίρια προβολή" και η ονομασία αυτή παρέμεινε επικρατούσα μέχρι τον 16ο αιώνα.
Δηλαδή με τον όρο "Επιπεδοσφαίριο" ,που κανονικά αναφέρεται στην απεικόνιση που προκύπτει, εννοούσαν εκείνη την εποχή κάποιον χάρτη του ουρανού. Ένας άλλος όρος που χρησιμοποιούταν αρκετά και τον Μεσαίωνα, για την προβολή αυτή, ήταν "Αστρολαβική".
Το επίθετο "Στερεογραφική" (εκ του "στερεό" (σώμα) και "γράφω"= αναπαριστώ)που τελικά επικράτησε ως τις μέρες μας ,οφείλεται στον Βέλγο μαθηματικό François d'Aguilon (1567-1617) ο οποίος , στο έργο Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utile (Έξι βιβλία περί οπτικής, χρήσιμα στους φιλοσόφους και στους μαθηματικούς), μελετάει τις ιδιότητες της ορθογραφικής και στερεογραφικής προβολής.
Aυτή είναι μια τυπική για την εποχή αναπαράσταση της Γης σε 2 ημισφαίρια με χρήση στερεογραφικής προβολής από τον Jodocus Hondius (Joost de Hondt) (14 October 1563 – 12 February 1612): Vera Totius Expeditionis Nauticae)
Ας δούμε και κάποια βασικά Μαθηματικά γύρω από την Στερεογραφική προβολή και τις σχετικές χαρτογραφικές ιδιότητες:
H στερεογραφική προβολή ορίζεται από μια σφαίρα και ένα εφαπτόμενο επίπεδο στη σφαίρα στο σημείο S (για παράδειγμα τον Νότο S) . H προβολή πραγματοποιείται από το αντιποδικό σημείο , εδώ τον Βορά N, H εικόνα/απεικόνιση του σημείου P της σφαίρας που δημιουργείται από την ΝPP' δηλαδή το P' , ανήκει στο επίπεδο που προκύπτει από την τομή της ευθείας NPP' με το επίπεδο του Ισημερινού.
Μ' άλλα λόγια, κάπως πιο γλαφυρά.., είναι η σκιά που δημιουργείται από μια εστία φωτός (π.χ έναν λαμπτήρα) τοποθετημένο βόρεια μιας πλαστικής υδρογείου σφαίρας , σε μια επίπεδη επιφάνεια (π.χ ένα τραπέζι) , αν το σημείο επαφής μεταξύ της σφαίρας και του τραπεζιού είναι ο Νότιος Πόλος .
ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΡΟΒΟΛΗΣ:
1. Η παραγόμενη εικόνα είναι κυκλική (αφού η προβολή είναι αζιμουθιακή) και καλύπτει επαρκώς μόνο το ένα από τα δύο ημισφαίρια.
2. Η παραμόρφωση των μεσημβρινών και των παραλλήλων υπολογίζεται βάσει του τύπου:
$μ = λ = 1/(cos^2(φ/2 + π/4))$
που σημαίνει ότι η προβολή είναι σύμμορφη. Δηλαδή διατηρεί αναλλοίωτες τις γωνίες,αλλά δεν διατηρούνται γενικά αναλλοίωτες ούτε οι γεωδαιτικές γραμμές ,ούτε τα εμβαδά, ούτε φυσικά οι αποστάσεις.
3. Επειδή η προβολή είναι αζιμουθιακή, διατηρεί αναλλοίωτες τις γεωδαισιακές γραμμές που περνούν από το σημείο επαφής! Για παράδειγμα, αν η εστία προβολής είναι (όπως συνηθίζεται, ο ένας από τους 2 Πόλους, οι μεσημβρινοί θα αναπαρίστανται σαν ευθείες γραμμές που συγκλίνουν στο κέντρο του χάρτη.
4. Όλοι οι μεσημβρινοί και οι παράλληλοι και γενικώς κάθε περιφέρεια της σφαίρας, οι μέγιστοι κύκλοι αλλά και οι κανονικοί κύκλοι, παραμένουν περιφέρειες, ΜΕ ΕΞΑΙΡΕΣΗ εκείνους που περνούνε από το σημείο επαφής και που μετασχηματίζονται σε ευθείες. (σαν γενική παρατήρηση, να πω ότι αυτό συμβαίνει λόγω μιας ιδιαίτερης ιδιότητας των μαθηματικών απεικονίσεων που ονομάζονται "Αντιστροφές", υποσύνολο των οποίων αποτελεί και η στερεογραφική προβολή).
5. Οι λοξοδρομίες (καμπύλες πλοήγησης) σταθερής πορείας ,που εν ολίγοις είναι καμπύλες της σφαίρας που τέμνουν τους μεσημβρινούς κατά μία σταθερή γωνία, μετατρέπονται στην επίπεδη απεικόνιση σε λογαριθμικές σπείρες.
6. Η παραμόρφωση των εμβαδών, των σχημάτων και των αποστάσεων είναι μικρή κοντά στο σημείο επαφής , μεγαλώνει όσο απομακρυνόμαστε απ' αυτό, και γίνεται υπέρμετρη όταν βγαίνουμε από το ημισφαίριο όπου βρίσκεται το σημείο επαφής (δηλαδή μόλις περάσουμε τον Ισημερινό, όσον αφορά τις πολικές εκδοχές)
Σημ. Το παραπάνω κείμενο περιέχει αποσπάσματα από βιβλίο του μαθηματικού και ειδικού στην χαρτογραφία και διαφορική Γεωμετρία Raúl Ibáñez (Ραούλ Ιμπάνιεθ) του βασκικού Πανεπιστημίου του Μπιλμπάο. Οποιαδήποτε αξιολογική κρίση ή παρατήρηση (που είναι καλοδεχούμενες!) βαρύνουν ασφαλώς αποκλειστικά εμένα.
Γιώργος Ριζόπουλος
Λεμεσός, Μάρτιος 2013
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου